Potencias de Exponente Fraccionario

¿Qué son las Potencias?

Las potencias son una forma de abreviar una sucesión de multiplicaciones de un mismo número por sí mismo que se representa como x^y, por ejemplo:

5 · 5 · 5 = 5³ = 125

Se denomina:

base. Al número que se multiplica (x) un determinado número de veces. En el ejemplo anterior la base sería el 5.
exponente. Al número de veces (y) que se multiplica la base. En nuestro caso sería el 3.

Así, podemos sustituir 5 · 5 · 5 por 5³ y se leería 5 elevado a 3.

A continuación mostramos algunos ejemplos de como nombraríamos las potencias:

3⁷. 3 elevado a 7
4². 4 elevado a 2 o también, 4 elevado al cuadrado.
7³. 7 elevado a 3 o también, 7 elevado al cubo.
2¹. 2 elevado a 1.

Como podemos deducir de los ejemplos anteriores, cuando el exponente es 2 o 3 pueden leerse de una forma especial:

Si el exponente es el número 2, podemos llamarle cuadrado.
Si el exponente es el número 3, podemos nombrarlo como cubo.

En concreto, llamamos potencias de exponente fraccionario a aquellas potencias en las que el exponente es un número fraccionario ( $a^{\frac{n}{m}}$ ). Por ejemplo:

$2^{\frac{5}{4}}, 3^{\frac{1}{2}}, (- 5)^{- \frac{1}{7}} . . .$

Este tipo de potencias se pueden expresar igualmente como una raíz (o radical) de la siguiente forma:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Ejemplo

Convierte las siguientes potencias de exponente fraccionario en radicales:

a) $9^{\frac{1}{2}}$ b) $8^{\frac{1}{3}}$ c) $2^{\frac{4}{7}}$ d) $5^{\frac{3}{4}}$

Ver solución

Propiedades de las Potencias de Exponente Fraccionario o Racional

Las potencias de exponente fraccionario cumplen las mismas propiedades que las potencias de exponente entero que vimos en el nivel anterior:

Propiedades de las Potencias de Exponente Fraccionario
Propiedad	Expresión	Ejemplo
Potencias de Potencias	${(x^{n})}^{m} = x^{n \cdot m}$	$(2^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{3}}$
Producto de Potencias con la misma base	$x^{n} \cdot x^{m} = x^{n + m}$	$2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{4}} = 2^{\frac{3}{2} + \frac{5}{4}} = 2^{\frac{6}{4} + \frac{5}{4}} = 2^{\frac{11}{4}}$
Producto de Potencias con distinta Base y el mismo exponente	$x^{n} \cdot y^{n} = (x \cdot y)^{n}$	$2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = (2 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} = 6^{\frac{1}{2}}$
División de Potencias con la misma base	$\frac{x^{n}}{x^{m}} = x^{n - m}$ $\frac{1}{x^{m}} = x^{- m}$	$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} = 2^{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}}$
División de Potencias con distinta base y el mismo exponente	$\frac{x^{n}}{y^{n}} = {(\frac{x}{y})}^{n}$	$\frac{4^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} = {(\frac{4}{2})}^{\frac{1}{3}} = {(2)}^{\frac{1}{3}}$
Potencia con exponente 0	$x^{0} = 1$	$5^{0} = 1$
Potencia con exponente 1	$x^{1} = x$	$5^{1} = 5$

Ejemplo

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con potencias:

a) $2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

b) $4^{\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{6}}$

c) $3^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}$

d) $\frac{5^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{7}{2}}}$

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José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

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