La función derivada es aquella que, en cada punto de abscisa x, asocia a una determinada función f(x), el valor de su variación instantána. En este apartado vamos a presentar las reglas que seguiremos normalmente para su cálculo. Lo haremos a través de los siguientes puntos:
¿Empezamos?
Recuerda que, aunque suele ser más laborioso, siempre puedes utilizar la propia definición de función derivada para su cálculo:
Tabla resumen
Si eres de los que comienza a leer un libro echando un ojo a su última página, te ahorramos que bajes hasta el final de esta, y te presentamos aquí un cuadro resumen con las reglas de derivación. Observa que en las columnas situadas más a la izquierda tenemos los casos más sencillos posibles de cada tipo. Así, por ejemplo, el tipo de la función potencial más simple es que la x esté elevada a un número (f(x)=xn ⇒ f'(x)=nxn-1). En las dos columnas derechas, el caso de que, en lugar de x tengamos una función f(x).
Hemos marcado con un asterisco aquellos tipos que consideramos fundamentales, y que debes aprender. Memoriza solo los casos con x (columnas izquierdas), y aplica lo siguiente para deducir las dos columnas derecha: "si en lugar de x tengo f(x), sustituyo x por f(x) en la regla que corresponda, y multiplico por f'(x)". Se trata de la regla de la cadena, que estudiaremos más abajo.
| Derivada de funciones elementales | ||||
| Con x | Con f(x) | |||
| Tipo | f(x) | f'(x) | g(x) | g'(x) |
| Constante* | f(x)=k | f'(x)=0 | ||
| Identidad | f(x)=x | f'(x)=1 | g(x)=f(x) | g'(x)=1·f'(x) |
| Potencial* | f(x)=xn | f'(x)=n·xn-1 | g(x)=f(x)n | g'(x)=n·f(x)n-1·f'(x) |
| Constante por función* | f(x)=k·xn | f'(x)=k·n·xn-1 | g(x)=k·f(x) | g'(x)=k·f'(x) |
| Raíz cuadrada | ||||
| Logaritmo neperiano | ||||
| Logaritmo en base a* | ||||
| e elevado a x | f(x)=ex | f'(x)=ex | g(x)=ef(x) | g'(x)=ef(x)·f'(x) |
| Exponencial* | f(x)=ax | f'(x)=ax·ln(a) | g(x)=af(x) | g'(x)=af(x)·ln(a)·f'(x) |
| Seno* | f(x)=sin(x) | f'(x)=cos(x) | g(x)=sin(f(x)) | g'(x)=cos(f(x))·f'(x) |
| Coseno* | f(x)=cos(x) | f'(x)=-sin(x) | g(x)=cos(f(x)) | g'(x)=-sin(f(x))·f'(x) |
| Tangente | f(x)=tan(x) | g(x)=tan(f(x)) | ||
| Arcoseno | ||||
| Arcocoseno | ||||
| Arcotangente | ||||
Además, también es importante que conozcas las reglas para las operaciones con derivadas.
| Derivada de operaciones con funciones | |
| Operación | |
| Suma | |
| Resta | |
| Multiplicación | |
| División | |
| Composición (Regla de la cadena) | |
Finalmente, dedicaremos otros apartados del tema a tratar técnicas de derivación habituales, como la derivación logarítmica o la implícita. Estudiando bien estas tablas, los ejercicios relacionados y las citadas técnicas no habrá derivada que se te pueda resistir.
Ten presente que normalmente existen varios caminos para resolver una derivada. Lo importante es que cada paso que des sea correcto. Por ejemplo, hemos visto en la tabla que:
Pero también:
Funciones elementales
Derivada de una constante
La derivada de una constante es 0:
Grafica de la derivada de la función constante
A la izquierda, una función constante. A la derecha, su derivada, que es cero. Recuerda que la pendiente de cualquier constante es 0 en cualquier punto, de ahí que su derivada, que representa la pendiente de la recta tangente, sea también 0.
Ejemplo
Demostración
Cuando estudiemos en el nivel educativo experto el teorema del valor medio podremos utilizarlo para demostrar el caminio inverso, esto es, que si f'(x)=0 ⇒ f(x) es constante.
Derivada de la función identidad
La derivada de la función identidad es 1:
Grafica de la derivada de x
A la izquierda, la función identidad. A la derecha, su derivada, que es 1. Observa que la pendiente de la función identidad es siempre 1, de ahí que su derivada sea también 1 para cualquier x.
Ejemplo
Demostración
Derivada de una función potencial
La derivada de x elevado a un número real n es el producto de ese número real por x elevado a ese mismo número menos una unidad:
Grafica de la derivada de un polinomio
Los polinomios pueden ser considerados un tipo concreto de función potencial. Concretamente, cada vez que se deriva uno de estos, obtenemos un polinomio de un grado una unidad menor. Así, en la figura tenemos el caso de dos polinomios sencillos del tipo xn, denominados monomios. En 1, tenemos una parábola f(x)=x2, que es un polinomio de grado 2. Al derivarla, en 2, obtenemos un polinomio de grado 1. En el caso de 3 tenemos un polinomio de grado 3. Al derivarlo, en 4, obtenemos una parábola (polinomio de grado 2).
Observa que, bajo esta categoría, y aplicando las propiedades de las potencias, podemos englobar las funciones radicales y aquellas de exponente negativo, pero también la podemos aplicar a la propia función identidad.
Ejemplo
Demostración
Para comprobar la fórmula anterior supondremos que n es un número natural. El resultado se mantiene cuando n es cualquier número real, pero lo dejamos como ejercicio propuesto. Así pues, comenzamos aplicando la propia definición de función derivada:
Para poder seguir debemos desarrollar la expresión (x+h)n. Recuerda que para ello usamos el teorema del binomio o binomio de Newton:
Con lo que la derivada nos queda:
Derivada de una constante por una función
La derivada de la multiplicación de un número real k por una función es el número real por la derivada de la función:
Ejemplo
Demostración
Recuerda que, en el caso de los límites, se cumple que, al multiplicarlos por una constante, el resultado es igual que la constante por el valor del límite, tal y como veíamos en las propiedades de los límites. Dado que una derivada no es más que un límite, también se cumple esta propiedad.
Derivada de una función raíz
La derivada de un radical viene dada por:
Así pues, para el caso de la raíz cuadrada:
Ejemplo
Demostración
Como sabes, las raíces pueden ser reescritas como potencias, con lo que:
Derivada del logaritmo neperiano
La derivada del logaritmo neperiano es:
Recuerda, un logaritmo neperiano, abreviado ln no es más que un logaritmo cuya base es el número e, loge.
Ejemplo
Observa las transformaciones aplicadas en el último ejemplo. En ocasiones es necesario transformar la función original para poder aplicar una determinada regla.
Demostración
Ahora recuerda que, tal y como ya hemos visto en las propiedades de los límites...
...con lo que:
Para resolver ese límite, buscamos el número e, tal y como veíamos al resolver las indeterminaciones de tipo 1∞, recordando que:
Con lo que nos queda:
Derivada del logaritmo en base a
La derivada del logaritmo en base a es:
Siendo .
Observa que, el caso del logaritmo neperiano visto anteriormente, es un caso particular de este, en el que a=e:
Grafica de la derivada logarítmica
A la izquierda, la función logaritmo neperiano. A la derecha, su derivada, que es una hipérbola. Recuerda que . Como puedes ver, Domf = (0, ∞), con lo que el dominio de la función derivada queda restringido: Domf' = (0, ∞).
Ejemplo
Demostración
El desarrollo es similar al caso anterior, pero considerando un logaritmo de base genérica a.
Derivada de e elevado a x
La derivada de e elevado a x es e elevado a x:
Ejemplo
Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la derivación logarítmica, que veremos en un apartado posterior.
Derivada de la función exponencial
La derivada de la función exponencial a elevado a x, siendo a cualquier número real positivo, es:
Observa que estamos ante una regla que engloba el caso de f(x)=ex.
Grafica de la derivada de la función exponencial
La derivada de la función exponencial es otra función exponencial, escalada verticalmente por un factor ln(a). A la izquierda, función exponencial 2x, y a la derecha su derivada.
Ejemplo
Para demostrar esta regla también es necesario hacer uso de la derivación logarítmica.
Derivada del seno
La derivada del seno es el coseno:
Grafica de la derivada del seno
A la izquierda, en rojo, la función seno de x. A la derecha, en verde, su derivada, la función coseno de x.
Ejemplo
Demostración
Aplicando la definición de derivada:
Ahora, recordando las identidades trigonométricas, sabemos que...
... y así podemos transformar la diferencia de senos en un producto, quedando:
Ahora vamos a adelantarnos a un resultado que obtendremos cuando estudiemos los infinitésimos equivalentes:
Con lo que podemos escribir
Derivada del coseno
La derivada del coseno es el seno, con signo negativo:
Grafica de la derivada del coseno
A la izquierda, en rojo, la función coseno de x. A la derecha, en verde, su derivada, la función menos seno de x.
Ejemplo
Demostración
Se trata de un proceso similar a la derivada del seno. Observa, partimos de la definición de derivada:
Ahora, recordando las identidades trigonométricas, sabemos que...
... y así podemos transformar la diferencia de cosenos en un producto, quedando:
Ahora ya hemos señalado que:
Con lo que podemos escribir...
Para recordar qué derivada es la que cambia el signo, entre la del seno y la del coseno, puedes recordar COseno ⇒ COn signo.
Derivada de la tangente
La derivada de la tangente puede ser escrita de tres maneras equivalentes:
Ejemplo
Demostración
Podemos demostrar fácilmente esta regla si tenemos en cuenta la propia definición de tangente en función del seno y del coseno, tan(x)=sin(x)/cos(x), pero para ello es necesario que adelantemos el cálculo de la derivada de un cociente de funciones, que veremos en detalle más abajo:
Con lo que nos queda:
Que también puede ser reescrito:
Y que también puede ser reescrito:
Recuerda que las funciones cosecante, secante y cotangente se definen como las inversas del seno, del coseno y de la tangente respectivamente, y como tal las podemos derivar:
Derivada del arcoseno
La derivada del arcoseno es:
Ejemplo
Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la regla de la cadena, con lo que lo demostraremos en el apartado correspondiente.
Derivada del arcocoseno
La derivada del arcocoseno es:
Ejemplo
Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la regla de la cadena, con lo que lo demostraremos en el apartado correspondiente.
Derivada del arcotangente
La derivada del arcotangente es:
Ejemplo
Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la regla de la cadena, con lo que lo demostraremos en el apartado correspondiente.
Operaciones con derivadas
Dado que la derivada de una función es, por definición, un límite, se cumplen las mismas propiedades que en ellos cuando se operan con funciones. Así pues:
Derivada de la suma y resta de funciones
La derivada de la suma de varias funciones es la suma de sus derivadas. La derivada de la resta de varias funciones es la resta de sus derivadas. Por tanto, para cualquier valor de x en que dos funciones f y g sean derivarles, se cumple:
Ejemplo
Demostración
Derivada del producto
La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda función por la primera sin derivar. Por tanto, para cualquier valor de x en que dos funciones f y g sean derivables, se cumple:
Ejemplo
Comprobación
Derivada del cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, menos la derivada de la segunda función por la primera sin derivar, dividido todo ello por la segunda función al cuadrado. Por tanto, para cualquier valor de x en que dos funciones f y g sean derivables, y que g sea distinto de cero, se cumple:
Ejemplo
Demostración
Para comprobar esta regla tendremos en cuenta que el cociente de divisiones se puede expresar como un caso particular del producto, así pues, podemos aplicar la regla del producto, ya demostrada. Observa:
Para resolver D(1/g) podremos hacer uso de la regla de la cadena, pero como todavía no la hemos introducido, usaremos la propia definición de derivada para su cálculo:
Con lo que nos queda:
Derivada de la composición
Recuerda, en primer lugar, que la función compuesta se obtiene aplicando una función a las imágenes de otra. El siguiente es un ejemplo de f compuesta con g:
La derivada de la composición de funciones también se conoce como regla de la cadena y establece que si f es derivable en x y g lo es en f(x), será derivable en x y tendrá por expresión:
Estudiaremos con más profundidad esta regla en su propio apartado, ya que supone la base para derivar funciones complejas. Tal y como veíamos en la tabla resumen, más arriba, esta regla nos permite decir "si en lugar de x tengo f(x), sustituyo x por f(x) en la regla que corresponda, y multiplico por f'(x)".
Ejemplo