Transformación de Funciones

En ocasiones es posible realizar la representación gráfica de una función g(x) a partir de transformaciones elementales sobre otra función f(x) cuya gráfica ya conocemos. El resultado final dependerá de la operación concreta aplicada. En general, cuando la operación afecta a y=f(x) se producen cambios en el eje vertical. Cuando la operación afecta a x, los cambios son en el eje horizontal. En este apartado vamos a describir estas transformaciones y sus operacions asociadas a través de los siguientes puntos:

El desplazamiento vertical
El desplazamiento horizontal
La reflexión vertical
La reflexión horizontal
La expansión/contracción vertical
La expansión/contracción horizontal
Orden en transformaciones consecutivas
Cuadro resumen

¿Preparado para comenzar?

Traslación vertical: g(x) = f(x)+k ; g(x) = f(x)-k

En este caso estamos sumando (o restando) una constante k a la coordenada y de la función f(x) para así obtener la nueva coordenada y de g(x). El efecto es un desplazamiento en el eje vertical (eje de ordenadas) de la función original, quedando igual en el eje horizontal (eje de abcisas).

Desplazamiento vertical

Si sumas una constante k a una función de gráfica conocida y=f(x) (en rojo) se produce un desplazamiento k unidades hacia arriba de la gráfica de la función original (gráfica azul). Si restas una constante k el efecto es que la gráfica de la función original se desplaza hacia abajo k unidades (gráfica en verde).

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(0,0). Si haces y=f(x)+k, el nuevo punto pasará a ser (0,k). A la luz de esto, ¿sabrías decir el valor de la k de la ilustración?

Como ejemplo concreto piensa en la parábola centrada en el origen f(x)=x². Conocida su gráfica, la de g(x)=f(x)+3=x²+3 será igual, pero desplazada 3 unidades hacia arriba. La de g(x)=f(x)-3=x²-3 será igual, pero desplazada 3 unidades hacia abajo.

Traslación horizontal: g(x) = f(x+k) ; g(x) = f(x-k)

En este caso estamos sumando (o restando) a la coordenada x de la función f(x) una constante k para obtener la nueva gráfica de g(x). El efecto es un desplazamiento en el eje horizontal (eje de abcisas) de la función original, quedando igual en el eje vertical (eje de ordenadas).

Desplazamiento horizontal

Si sumas una constante k a la variable independiente x de una función de gráfica conocida y=f(x) (en rojo) se produce un desplazamiento k unidades hacia la izquierda de la gráfica de la función original (gráfica azul). Si restas una constante k el efecto es que la gráfica de la función original se desplaza hacia la derecha k unidades (gráfica en verde).

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(0,0). Si haces y=f(x+k), el mismo valor y pasará a estar k unidades a la izquierda, en (-k, 0). A la luz de esto, ¿sabrías decir el valor de la k de la ilustración?

Debes evitar la tentación de desplazar hacia la izquierda cuando veas f(x-k) o a la derecha cuando veas f(x+k). El desplazamiento se produce en el sentido contrario al del signo que acompaña a k.

Como ejemplo concreto, veamos una función lineal f(x)=x+1. Si construimos una función g(x)=f(x+3) lo que debemos hacer es poner x+3 allá donde veamos x en f(x). Así pues g(x)=f(x+3)=(x+3)+1. Ahora observa que el valor y=1, por ejemplo, se obtenía para x=0 en f(x). Ahora ese valor se obtiene para x=-3 en g(x) ya que (-3+3)+1=1. El valor y=2 se obtenía para x=1. Ahora se obtiene para x=-2 ya que (-2+3)+1=2. En definitiva, el efecto gráfico es que, a pesar del signo + en f(x+3), la función se desplaza hacia la izquierda.

Reflexión vertical: g(x)=-f(x)

La reflexión vertical ocurre cuando cambiamos el signo al eje y de una función f(x) o, dicho de otro modo, cuando lo multiplicamos por -1. El efecto es el de obtener la función simétrica respecto al eje x.

Reflexión vertical

Multiplicar una función por -1 es equivalente a cambiar el signo de todas sus imágenes (valores de y). Así, la función en azul es la simétrica de la función original en rojo, respecto al eje de abscisas.

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(-2,1). Si haces y=-f(x), el nuevo punto pasará a ser (-2,-1).

Como ejemplo concreto, la función f(x)=x²+1. Si queremos construir g(x)=-f(x)=-(x²+1)=-x²-1 y conocemos la gráfica de la original f(x), no tenemos más que invertirla respecto al eje x. Esto es, que el punto (0, 1) pasaría a ser el (0, -1), el (1, 2) pasaría a ser el (1, -2) y así sucesivamente.

Reflexión horizontal: g(x)=f(-x)

La reflexión horizontal ocurre cuando sustituimos cualquier aparición de x de una función f(x) de la que conocemos la gráfica por -x. El efecto es el de obtener la función simétrica respecto al eje y.

Reflexión horizontal

Dada una función, en rojo, su simétrica respecto al eje y, en azul, se obtiene cambiando x por -x en la expresión analítica de la original.

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(-2,1). Si haces y=f(-x), el nuevo punto pasará a ser (2,1).

Observa que las funciones que presentan paridad par, es decir, simetría respecto al eje y no varían su gráfica.

Como ejemplo concreto, piensa en la función simétrica respecto al eje de ordenadas f(x)=x²+1. Gráficamente sabes que es una parábola con las ramas hacia arriba y con el vértice en (0,1). Si la invertimos "gráficamente" respecto al eje y, la gráfica no cambia. Observa ahora lo que ocurre analíticamente; la nueva función g(x)=f(-x) se obtiene cambiando todas las apariciones de x en f(x) por -x, quedando: g(x)=f(-x)=(-x)²+1=x²+1, que tiene la misma expresión que la función original f(x).

Expansión y contracción vertical: g(x)=k·f(x)

Cuando multiplicas la coordenada y de la función original f(x) por una constante k:

Si k>1, la función se dilata (se expande) en el eje y
Si 0<k<1, la función se contrae en el eje y

Contracción y expansión de una función: y=k·f(x)

Expansión y contracción vertical

Puedes expandir o contraer una función en el eje y multiplicándola por un número k mayor que uno o entre cero y uno respectivamente. La función roja, es la función original La función azul es la función original dilatada y la función verde es la función original contraída.

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(-2,1). Si haces y=k·f(x), el nuevo punto pasará a ser (2,k). A la luz de esto, ¿sabrías decir el valor de k para la función dilatada y la contraída?

Ten presente que multiplicar por un número entre 0 y 1 equivale a dividir por un número mayor que 1 ( g(x)=0.5·f(x)=(1/2)·f(x) ).

Si k es negativo procedemos en primer lugar invirtiendo la función, como hemos visto en reflexión vertical. Posteriormente extendemos o contraemos la misma según |k|>1 o 0<|k|<1 respectivamente.

Como ejemplo concreto, volvemos a una parábola centrada en el origen f(x)=x². Conocida su gráfica, la de g(x)=3·f(x)=3·x² presentará una dilatación en el eje y. Así, el punto (0,0) permanece siendo el (0, 0), pero el (1, 1) pasa a ser el (1, 3), el (2, 4) pasa a ser el (2, 12) y así sucesivamente.

Expansión y contracción horizontal: g(x)=f(k·x)

En este caso multiplicamos la coordenada x de la función f(x) por una constante k para obtener la nueva gráfica de g(x). Se trata de sustituir todas las apariciones de x en la función original f(x) por k·x:

Si k>1, la función contrae en el eje x
Si 0<k<1, se dilata (se expande) en el eje x

Contracción y expansión de una función: y=f(k·x)

Expansión y contracción horizontal

Puedes contraer o expandir una función en el eje x multiplicando todas las apariciones de x por un número k mayor que uno o entre cero y uno respectivamente. La función roja, es la función original. La función azul es la función original contraída y la función verde es la función original dilatada.

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(2, -2). Si haces y=f(k·x), el nuevo punto pasará a ser (2/k,1). A la luz de esto, ¿sabrías decir el valor de k para la función contraída y la dilatada?

Ten presente que multiplicar por un número entre 0 y 1 equivale a dividir por un número mayor que 1 ( g(x)=·f(0.5·x)=f((1/2)·x) ).

Debes evitar la tentación de expandir la función cuando veas un k>1, o de contraerla cuando 0<k<1 en f(k·x). Como hemos señalado, el efecto sobre la función al multiplicar todas las apariciones de la variable independiente por k es justo el contrario a lo que le ocurriría a un número cualquiera que se multiplicase por k. Efectivamente, este crecería si k>1 o se compactaría si 0<k<1.

Como ejemplo concreto, nuestra función cuadrática centrada en el origen f(x)=x². Si queremos construir g(x)=f(3·x) lo que debemos hacer es poner 3·x allá donde veamos x en f(x). Así pues g(x)=f(3·x)=(3·x)². Ahora observa que el valor y=1, por ejemplo, se obtenía para x=±1 en f(x). Ahora ese valor se obtiene para x=±1/3 en g(x) ya que (3·(±1/3))²=1. El valor y=9 se obtenía para x=±3. Ahora se obtiene para x=±1 ya que (3·(±1))²=9. En definitiva, el efecto gráfico es que, a pesar de multiplicar por un k mayor que 1, la función se contrae.

Si k es negativo procedemos en primer lugar invirtiendo la función, como hemos visto en reflexión horizontal. Posteriormente contraemos o extendemos la misma según |k|>1 o 0<|k|<1 respectivamente.

Transformaciones consecutivas

Será habitual que te pidan aplicar varias de las transformaciones que hemos visto para determinar la gráfica de una función g(x) a partir de otra función f(x). En estos casos, el orden en que apliques las transformaciones puede variar el resultado final obtenido.

Cuando tengas que aplicar varias transformaciones sobre una función comienza por aquellas que afectan al eje x, y termina por las que tengan que ver con el eje y. Si la función está en la forma:

$g (x) = (-) \frac{a}{b} \cdot f ((-) \frac{c}{d} x \pm e) \pm h$

Deberás comenzar las transformaciones del eje x (en azul) por el desplazamiento horizontal (±e), y terminar las transformaciones del eje y (en verde) por el desplazamiento vertical (±h). El resto de transformaciones las puedes realizar en el orden que quieras, siempre que las del eje x precedan a las del eje y.

En caso de que la forma de la ecuación no sea la indicada, te recomendamos que la transformes y así puedas aplicar el orden propuesto. Por ejemplo:

g (x) = f (- 3 (x + 2)) \Rightarrow g (x) = f (- 3 x - 6)

Cuadro resumen

Cuadro resumen

Función	Punto
y=f(x)	(x₀, y₀)
y=f(x)+k	(x₀, y₀+k)
y=f(x)-k	(x₀, y₀-k)
y=f(x-k)	(x₀+k, y₀)
y=f(x+k)	(x₀-k, y₀)
y=-f(x)	(x₀, -y₀)
y=f(-x)	(-x₀, y₀)
y=k·f(x)	(x₀, k·y₀)
y=f(k·x)	(x₀/k, y₀)

Puedes utilizar los simuladores del tema sobre los distintos tipos de funciones para ver como afectan las distintas transformaciones estudiadas en las gráficas de la funciones. De particular utilidad te puede resultar el de funciones exponenciales y logarítmicas.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

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