El teorema del valor medio establece que:

...entonces existe al menos un punto en que la recta tangente a la función es paralela a la recta secante que une f(a) con f(b).

Gráficas del teorema del valor medio

Las funciones en 1 y 2 cumplen las premisas del teorema del valor medio, con lo que es posible encontrar al menos un punto c (o c1 o c2) en el que la recta tangente a la función, representada en negro en cada caso, sea paralela a la recta secante que une los extremos del intervalo, representada en gris claro. La función en 3 no cumple las premisas del teorema, y no es posible encontrar rectas tangentes a la función paralelas a la secante.

Observa que hemos llamado m al valor de la pendiente de la recta secante. Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto es justamente el valor de la derivada en ese punto. Recuerda también que cuando dos rectas son paralelas sus pendientes coinciden.

Ten presente que el hecho de que no se cumplan las premisas del teorema no implica que no pueda haber una o varias rectas tangentes a la función que sean paralelas a la secante en el intevalo [a, b]. Simplemente no podemos afirmar que las haya.

Formalmente...

El teorema del valor medio de Lagrange, también denominado teorema de Bonnet-Lagrange, teorema de los incrementos finitos, teoría del punto medio, o simplemente teorema del valor medio establece que si una función es continua en un intervalo [a,b], y derivable en su interior (a, b), entonces existe al menos un valor cϵ(a, b) tal que:

Como puedes observar, f'(c) es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto c, y es la pendiente de la recta secante a la función, que une a y b.

Una interpretación física del teorema podría ser la siguiente:

"Si un tren viaja desde un Málaga a Madrid a una velocidad media de 250 km/h, entonces al menos en un punto la velocidad instantánea del tren debe ser de 250 km/h."

Traduciendo a un lenguaje más matemático, la velocidad media (en módulo) correspondería a la tasa de variación media , y la velocidad instantánea en el punto considerado correspondería con la tasa de variación instantána, es decir, con f'(c).

El teorema de el valor medio es un caso general del teorema de Rolle.

Efectivamente, observa la siguiente imagen:

Teorema de Rolle como caso particular del teorema del valor medio.

En la ilustración vemos una función que cumple el teorema del valor medio. En ella hemos representado el punto, en verde, en el que la recta tangente es paralela a la secante que cruza los extremos del intervalo considerado. Ambas rectas tienen una pendiente m1.

Se ilustra el proceso de hacer coincidir f(a) con f(b) para mostrar como, al final, la secante y la tangente son horizontales (tienen pendiente 0). Las tesis del teorema del valor medio son, por tanto, más generales que las de Rolle, coincidiendo sólo en la última función de la serie.

En la sucesión m1>m2>m3.

No debes confundir el teorema del valor medio, de Lagrange, con el teorema de los valores intermedios, de Darboux.

El descubridor del teorema del valor medio fue Lagrange, y demostrado por Bonnet, de ahí que en ocasiones se le conozca como teorema de Bonnet-Lagrange.

Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) fue un físico, matemático y astrónomo italiano, que vivió entre Prusia y Francia. Además del teorema aquí recogido es célebre por la formulación en física del lagrangiano, una función escalar que permite obtener la evolución en el dominio del tiempo y otras propiedades importantes de un sistema dinámico.

Demostración

Nuestras hipótesis de partida son que la función f(x)...

  • ...es continua en [a, b] y...
  • ...derivable en (a,b)

Debemos llegar a la conclusión de que existe al menos un valor c, tal que

Para la demostración de este teorema vamos a recurrir a dos funciones auxiliares:

  • De un lado, la función s(x), recta que secante que une a y b. De ella sabemos que tiene pendiente , y que pasa por el punto (a, f(a)). Es decir, que cuando x=a, s(x)=f(a).

    Si escribimos la recta en su forma s(x)-f(a)=m(x-a) satisfacemos las condiciones anteriores. Podemos decir entonces que la función auxiliar buscada es:

  • De otro lado, la función l(x)=f(x)-s(x), es decir, la función que, para cada valor de x devuelve la distancia que hay entre la función f(x) y la recta secante s(x) en el tramo considerado

Funciones auxiliares para la demostración del teorema del valor medio

Las funciones necesarias para la demostración del teorema del valor medio son s(x), que es la cuerda que corta a la función en los extremos del intervalo, y l(x). Esta última se construye como la diferencia de los valores de ordenada de f(x) y s(x). En la gráfica se ha marcado dicha diferencia en un x aribitrario como una línea discontinua azul.

La expresión de l(x)=f(x)-s(x), sustituyendo en ella la expresión de s(x) es:

Dicha función satisface las hipótesis del teorema de Rolle. Observa:

  • Es continua en [a, b] por ser resta de funciones continuas (f(x) y s(x))

  • Es derivable en (a, b), al serlo

    (la función existe para cualquier xϵ(a, b)).

  • El valor de la función en los extremos del intervalo es el mismo:

Como satisface el terorema de Rolle, podemos decir que existe un c∈(a, b) tal que l'(c)=0, con lo que...

...que es justo lo que queríamos demostrar.

Consecuencias y aplicaciones

El teorema del valor medio nos permite demostrar de manera sencilla y formal algunos enunciados que hasta ahora sólo podíamos intuir.

Función constante

Ya sabemos que la derivada de una función constante es cero. Vamos a demotrar lo contrario.

Sea una función continua en un intervalo [a, b], derivable en (a, b), si f'(x)=0 para cualquier x∈(a,b), entonces la función f es constante en [a, b].

Para la demostración tomamos dos puntos cualesquiera, a'<b', con a',b'∈[a,b]. Entonces se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [a', b'], y por tanto podemos afirmar que ∃c∈[a',b'] tal que:

Como hemos partido de la hipótesis de que f'(x)=0 en [a,b], nos queda que f'(c)=0, y por tanto:

Esto significa que, independintemente del valor de a' y b', la función siempre toma el mismo valor, es decir, es constante.

Monotonía de una función

Función creciente

Ya sabemos que si una función f es creciente en un punto c, entonces f'(c)>0. Vamos a demostrar lo contrario.

Sea una función continua en un intervalo [a, b], derivable en (a, b), si f'(x)>0 para cualquier x∈(a,b), entonces la función f es creciente en [a, b].

Para la demostración tomamos dos puntos cualesquiera, a'<b', con a',b'∈[a,b]. Entonces se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [a', b'], y por tanto podemos afirmar que ∃c∈[a',b'] tal que:

Como hemos partido de la hipótesis de que f'(x)>0 en [a,b], nos queda que f'(c)>0, y por tanto:

Como b'>a', para que el cociente sea >0 necesariamente se tiene que cumplir que f(b')-f(a')>0 y por tanto f(b')>f(a'). Esto significa que, independintemente del valor de a' y b', la función siempre es creciente.

Función decreciente

Por otro lado, también sabemos que si una función f es decreciente en un punto c, entonces f'(c)<0. Vamos a demostrar lo contrario.

Sea una función continua en un intervalo [a, b], derivable en (a, b), si f'(x)<0 para cualquier x∈(a,b), entonces la función f es decreciente en [a, b].

Para la demostración tomamos dos puntos cualesquiera, a'<b', con a',b'∈[a,b]. Entonces se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [a', b'], y por tanto podemos afirmar que ∃c∈[a',b'] tal que:

Como hemos partido de la hipótesis de que f'(x)<0 en [a,b], nos queda que f'(c)<0, y por tanto:

Como b'>a', para que el cociente sea <0 necesariamente se tiene que cumplir que f(b')-f(a')<0 y por tanto f(b')<f(a'). Esto significa que, independintemente del valor de a' y b', la función siempre es decreciente.

Extremos de una función

Cuando estudiábamos la curvatura de una función, demostrábamos la relación entre la segunda derivada, la primera y la existencias de máximos o mínimos. Recordaremos aquí dichas demostraciones, por aplicarse en ellas implícitamente el resultado del punto anterior.

Máximo relativo

Si f'(xi)=0 y f''(xi)<0, entonces la función tiene un máximo relativo en xi

De la definición de deivada de una función, aplicada a f''(xi), tenemos que...

Ahora...

  1. Si h<0, como , , entonces f'(xi+h)>0, con lo que f es creciente a la izquierda (h<0) de xi, tal y como hemos visto en el punto anterior de Monotonía de una función
  2. Si h>0, como , , entonces f'(xi+h)<0, con lo que f es decreciente a la derecha (h>0) de xi, de nuevo tal y como hemos visto en el punto anterior de Monotonía de una función

Las dos condiciones anteriores implican que xi es un máximo relativo.

Mínimo relativo

Si f'(xi)=0 y f''(xi)>0, entonces la función tiene un mínimo relativo en xi

De la definición de deivada de una función, aplicada a f''(xi), tenemos que...

Ahora...

  1. Si h<0, como , , entonces f'(xi+h)<0, con lo que f es decreciente a la izquierda (h<0) de xi, tal y como hemos visto en el punto anterior de Monotonía de una función
  2. Si h>0, como , , entonces f'(xi+h)>0, con lo que f es creciente a la derecha (h>0) de xi, de nuevo tal y como hemos visto en el punto anterior de Monotonía de una función

Las dos condiciones anteriores implican que xi es un mínimo relativo.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!