Teorema de los Valores Intermedios
El teorema de los valores intermedios, a veces llamado de Darboux, afirma que una función continua en un intervalo [a,b] toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b). Se trata de una consecuencia directa del teorema de Bolzano.
Gráficas del teorema de los valores intermedios
Cuando una función es continua en un intervalo, siempre alcanza todos los valores entre f(a) y f(b), al menos en un punto. En la gráfica tenemos 2 casos diferentes de funciones continuas para ejemplificar el teorema, y una función no continua para ejemplificar que no se cumple. Considerando un valor y=k arbitrario entre f(a) y f(b), vemos que es alcanzado en 1 y 2, pero no en 3.
Formalmente...
Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces el teorema de los valores intermedios establece que para cualquier k∈ℝ cuyo valor esté entre f(a) y f(b) existe al menos un valor c∈[a,b] tal que f(c)=k.
En ocasiones el teorema es enunciado de manera análoga pero tomando el máximo y el mínimo absolutos en lugar de f(a) y f(b).
Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces el teorema de los valores intermedios establece que la función alcanza en dicho intervalo todos los valores comprendidos entre su máximo absoluto y su mínimo absluto.
Ten presente que toda función continua en [a,b] alcanza su máximo y su mínimo absolutos en dicho intervalo, según el teorema de Weierstrass.
Por otro lado existe una consecuencia muy útil de este teorema.
Consecuencia del teorema de los valores intermedios
Considerando dos funciones continuas f y g en el intervalo, si en un extremo una está por encima, y en el otro queda por debajo, quiere decir que, en algún punto se cortan.
Formalmente...
Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(a)>g(a) y f(b)<g(b), entonces existe un c∈[a,b] tal que f(c)=g(c).
Demostración
Demostraremos este teorema basándonos en el teorema de Bolzano. La idea es sencilla: suponiendo f(a)<f(b), se trata de demostrar que para cualquier f(a)<k<f(b), existe al menos un c∈(a,b) tal que f(c)=k. Si f(b)<f(a), el razonamiento sería análogo.
Comenzamos construyendo la función g(x)=f(x)-k. Dicha función es continua (por serlo f(x) y ser k una constante). Además, cumple que g(a)=f(a)-k es menor que cero, y g(b)=f(b)-k mayor que cero.
Por el teorema de Bolzano, debe existir un valor c∈(a,b) tal que g(c)=0, lo cual conlleva que 0=f(c)-k, y por tanto que f(c)=k.
Y ahora... ¡Ponte a prueba!
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