Bolzano en función a trozos

Consideraciones previas

Para que a una función se le pueda aplicar el teorema de Bolzano en un intervalo tiene que ser continua en él y cambiar de signo en sus extremos.

Se trata, por tanto, de buscar los valores de a y b que hacen que la función cumpla las premisas indicadas.

Resolución

Las dos ramas de la función a trozos son continuas para todo ℝ, por lo tanto nos debemos de preocupar de la continuidad en el punto donde "se unen", esto es, en x=-1. Recuerda que para que una función sea continua en un punto, el valor de la propia función en el punto debe coincidir con el del límite en él. Esto, a su vez, se traduce en que los límites laterales existan y coincidan en valor. Veamos pues, qué ocurre en x=-1:

De esta manera la función es continua en todo el intervalo. La segunda hipótesis es que la función tiene que cambiar de signo en el intervalo [0, 2].

Despejando b de la ecuación (1), b=a-1, y la función queda:

Como f(0)=-1 es negativa f(2) ha de ser positiva:

Siendo entonces la solución b=a-1 con a menor que -1/3.