Teorema valores intermedios en función a trozos

Consideraciones previas

Para que una función tome todos los valores entre f(a) y f(b) ha de ser, según el teormea de los valores intermedios, continua en ese intervalo.

Resolución

En nuestro caso nos dicen que ha de tomar todos los valores entre f(-2) y f(1), por lo tanto ha de ser continua en el intervalo [-2, 1]. Como es una función definida a trozos estudiamos primero cada una de las dos ramas.

• Para valores de x negativos (rama 0>x), la función es un polinomio y por lo tanto continua para todo valor de la variable
• La segunda rama es la raiz cuadrada de un polinomio, que es también continua para todos los valores de la variable que pertenecen al domino de la función. En nuestro caso  está definida para las x  de la rama 0≤x≤1

Por lo tanto sólo tendermos que estudiar la continuidad en el punto problemático, esto es, en x=0. Recordamos que una función es continua en  x=x₀ si:

Vamos a estudiar estas tres condiciones y vamos a imponer que se cumplan para que la función sea continua. Al imponer esas condiciones obtendremos una ecuación que nos permitirá calcular el valor de a pedido:

Primera condición: Ha de existir la función para x=0. Según vemos en el enunciado la función para x=0 viene definida por la función . Por lo tanto f(0)=-1.

Segunda condición: Han de exisitir los límites por la izquierda y por la derecha de la función cuando la variable tiende a x=0. Para hacer el límite por la izquierda cogemos evidentemente la función tal como está definida a la izquierda:

Análogamente por la derecha:

Para que ambos límites sean iguales y se cumplan las tres condiciones de continuidad ha de cumplirse a=-1. Para este valor de a=-1 la función f(0)=-1 y los dos límites valen igualmente -1. Por lo tanto a=-1 es la solución.