Ecuación trigonométrica con seno

Tal y como estudiamos en el apartado de razones trigonométricas de los ángulos de 30º, sabemos que sin 30º = 1/2. Por tanto, podríamos pensar que la solución es x = 30º, sin embargo existe como mínimo otra posibilidad. Si recordamos el apartado de ángulos suplementarios, existe otro ángulo situado en el siguiente cuadrante que posee el mismo valor de seno.

Ángulos Suplementarios

Si dibujamos un ángulo de 30º sobre la circunferencia goniométrica, su seno es el valor de la coordenada y del punto P (gráficamente la longitud del segmento azul PQ). Observa que podemos obtener ese mismo valor de seno con otro ángulo β = 180º-30º = 150º situado en el siguiente cuadrante. De hecho siempre se cumple que para cualquier ángulo α:

$$\begin{gathered} \sin \alpha = \sin \left(180º-\alpha \right) \\ \sin \alpha = \sin \left(\pi -\alpha \right) \end{gathered}$$

Como puedes comprobar en la figura, x también puede ser el suplementario de 30º, es decir 180º-30º = 150º,  ya que su seno también vale 1/2. Por tanto, de momento tenemos dos soluciones, sin embargo nuevamente no las tenemos todas. Observa que en cualquier ángulo si sumamos o restamos 360º o 2·360º o 3·360º, ..., k·360º con k E Z, obtenemos el mismo valor para la ecuación.

Giros

En la figura puedes observar que si a cualquier ángulo α le sumamos 360º o 2π rad, el ángulo resultante es en realidad el mismo ángulo α. En concreto, en nuestro ejemplo podemos comprobar como un ángulo de 30º es equivalente a uno de 390º. Como norma general, esto se cumple siempre si le sumamos a α cualquier múltiplo entero de 360º.

De ahí que las soluciones de este tipo de ecuaciones se escriban de la siguiente forma:

$$\begin{gathered} grados \left\{\begin{array}{l}x=30º+k·360º\\ x=150º+k·360º\end{array}\right.k \in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ radianes \left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k·2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k·2\pi \end{array}\right.k \in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$