Fuerzas y M.C.U. en el Péndulo Cónico

Un péndulo cónico es un sistema formado por un cuerpo de masa m que cuelga de una cuerda unida a otro cuerpo fijo, como por ejemplo el techo, y que se mueve con celeridad constante describiendo una circunferencia. Dicha cuerda forma un ángulo θ con la vertical.

Si lo piensas un poco, te darás cuenta que el movimiento que describe la masa es un movimiento circular uniforme (m.c.u.). Esto implica que el cuerpo estará sometido a una aceleración normal o centrípeta, que lo obliga a cambiar de dirección constantemente, y por tanto si existe aceleración normal, existe también una fuerza que lo provoca: la fuerza centrípeta.

Vamos a estudiar este caso concreto, incluyendo el diagrama de las fuerzas que intervienen sobre el cuerpo.

Estudiando cada eje por separado y aplicando el criterio de signos según el sentido de los ejes de coordenadas, tal y como estudiamos en el apartado de Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos:

Eje X

$$\begin{gathered} {\sum }_{}{\overrightarrow{F}}_x=m·{\overrightarrow{a}}_n \Rightarrow \\ Tx=m·a_n \Rightarrow \\ T·\sin \left(\theta \right)=m·\frac{v^2}{R} \left[1\right] \end{gathered}$$

Eje Y

Dado que su movimiento en este eje es nulo, su aceleración también:

$$\begin{gathered} {\sum }_{}{\overrightarrow{F}}_y=m·\overrightarrow{a} \Rightarrow \\ {T}_y-P=m·\cancel{a} \Rightarrow \\ T·\cos \left(\theta \right)=m·g \left[2\right] \end{gathered}$$

Cálculo del ángulo θ

Si dividimos, cada uno de los miembros de las ecuaciones [1] y [2] obtenemos que:

$$\begin{gathered} {\sum }_{}{\overrightarrow{F}}_y=m·\overrightarrow{a} \Rightarrow \\ {T}_y-P=m·\cancel{a} \Rightarrow \\ \frac{\cancel{T}·\sin \left(\theta \right)}{\cancel{T}·\cos \left(\theta \right)}=\frac{\cancel{m}·{\displaystyle \frac{v^2}{R}}}{\cancel{m}·g} \Rightarrow \\ \boxed{\tan \left(\theta \right)=\frac{v^2}{g·R}} \end{gathered}$$

Cálculo de la tensión T

Si despejamos en la ecuación [2], podemos determinar que:

$$\boxed{T=\frac{m·g}{\cos \left(\theta \right)}}$$

Sin embargo, si queremos determinar la tensión sin necesidad de calcular el ángulo, podemos elevar al cuadrado las ecuaciones [1] y [2] y sumarlas, por lo que:

$$\boxed{T=\sqrt{{\left(m·g\right)}^2+{\left(m·\frac{v^2}{R}\right)}^2}}$$