Ecuaciones del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Un cuerpo realiza un movimiento circular uniforme (m.c.u.) cuando su trayectoria es una circunferencia y su velocidad angular es constante. En este apartado vamos a estudiar:

• Las fórmulas que corresponden con este tipo de movimiento
• La relación que guardan las magnitudes lineales con las magnitudes angulares
• El concepto de periodo y de frecuencia en el m.c.u.
• Cómo deducir las ecuaciones del m.c.u.

Ecuaciones del M.C.U.

Relación entre Magnitudes Angulares y Lineales

Podemos relacionar las magnitudes angulares y lineales en los movimientos circulares a través del radio R.

Período y Frecuencia en el M.C.U.

El movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento periódico, es decir, se repite cada cierto tiempo con iguales características. Esto nos permite definir las siguientes magnitudes:

• Período: Se trata del tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa. Se representa por T y se mide en segundos (s). Su expresión viene dada por:

  $$T=2\mathrm{\pi }/\mathrm{\omega }$$

• Frecuencia: Se trata del número de vueltas que el cuerpo da en cada segundo. Se representa por f y se mide en la inversa del segundo (s^-1) , que también se denomina hercio (Hz). Su expresión viene dada por:

  $$f=\frac{\omega }{2·\pi }$$

La frecuencia es la inversa del período. Relacionando frecuencia, período y velocidad angular mediante las expresiones anteriores, por tanto, nos queda:

$$f=1/T$$

$$\omega =\frac{2·\pi }{T}=2·\pi ·f$$

Finalmente recuerda que la relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal nos permite escribir la última de nuestras expresiones que relaciona velocidad angular, velocidad lineal, período, frecuencia y radio en el movimiento circular uniforme (m.c.u.):

$$v=\omega ·R=\frac{2·\mathrm{\pi }}{T}·R=2·\mathrm{\pi }·f·R$$

No olvides que el concepto de frecuencia y de período sólo tiene sentido en los movimientos periódicos, así, en el movimiento circular uniformemente acelerado, por ejemplo, no tiene sentido hablar de frecuencia o de período.

Deducción de Ecuaciones del M.C.U.

Para obtener las ecuaciones del movimiento circular uniforme (m.c.u.) procedemos de forma similar a como lo hacíamos con el movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.), pero considerando magnitudes angulares, en lugar de lineales. Tendremos en cuenta las siguientes propiedades:

• La aceleración angular es cero ($\alpha =0$)
• Por otro lado esto implica que la velocidad angular media e instantánea del movimiento tienen el mismo valor en todo momento

Con esas restricciones nos queda:

$$\left.\begin{array}{c}{\omega }_m=\omega \\ {\omega }_m=\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\phi -{\phi }_0}{t-t_0}\underset{t_0=0}{\underbrace{=}}\frac{\phi -{\phi }_0}{t}\end{array}\right\}\to \phi -{\phi }_0=\omega \cdot t\to \boxed{\phi ={\phi }_0+\omega \cdot t}$$