Energía mecánica satélite en órbita y trabajo de escape

Datos

• Masa del satélite: m = 2300 kg
• Altura sobre el nivel del mar de la trayectoria del satélite: h = 1350 km = 1350·10³ m
• Radio de la TIerra: R = 6370 km = 6370·10³ m
• Masa de la Tierra: M = 5.97·10²⁴ kg

Consideraciones previas 

Sabemos que para que el satélite de masa m mantenga su órbita circular se debe cumplir la condición de estabilidad dinámica, es decir, que la fuerza gravitatoria sea la centrípeta del movimiento (de otro modo, el satélite acabaría alejándose o acercándose a la Tierra). Esto nos impone la velocidad a la que puede orbita el satélite a una distancia r=R+h del centro del planeta según:

$$F_g=F_c\Rightarrow G·\frac{M·m}{r^2}=m·\frac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{G·M}{r}}$$

Por otro lado, la energía mecánica del satélite, como la de cualquier cuerpo sometido exclusivamente a la fuerza gravitatoria, viene dada, cuando gira con órbita circular a una distancia r del centro de un planeta de masa M a velocidad v por:

$$E_m=E_p+E_c=\frac{1}{2}·m·v^2-G·\frac{M·m}{r}$$ 

Aplicando a la expresión anterior la expresión de v que impone la condición de estabilidad dinámica, nos queda el valor de energía mecánica de un satélite a partir de su energía potencial:

$$\begin{gathered} E_m=\frac{1}{2}·m·{\left(\sqrt{\frac{G·M}{r}}\right)}^2-G·\frac{M·m}{r}=-\frac{1}{2}·G·\frac{M·m}{r}\Rightarrow \\ \Rightarrow \boxed{E_m=\frac{E_p}{2}} \end{gathered}$$ 

Otra cuestión de relevancia que nos preguntan en el ejercicio es el trabajo de escape desde una órbita. Sabemos que el trabajo mínimo de escape será aquel trabajo exterior que haga llegar al cuerpo al infinito con velocidad cero, es decir, aquel que, aplicado al satélite, varíe la energía mecánica de este hasta hacerla 0. Por tanto:

$$\begin{gathered} W_{esc}=∆E_m=E_{m_f}-E_{m_i}=0-E_{m_i}\Rightarrow \\ \Rightarrow \boxed{W_{esc}=-\frac{E_p}{2}} \end{gathered}$$

Observa que este valor es menor que si quisiésemos llevar un cuerpo en reposo a la misma altura hasta el infinito. La razón es que el satélite en su órbita estable ya cuenta con cierta energía cinética, por lo que su energía mecánica inicial es mayor.

Resolución

Ya estamos en disposición de calcular el primer y el tercer apartado a partir de la energía potencial del satélite en órbita:

$$E_p=-G·\frac{M·m}{R+h}=-6.67·{10}^{-11}·\frac{5.97·{10}^{24}·2300}{\left(6370+1350\right)·{10}^3}=-1.186·{10}^{11}J$$

Por tanto, el valor de energía mecánica del satélite en su órbita pedido es:

$$E_m=\frac{E_p}{2}=\frac{-1.186·{10}^{11}}{2}=-5.93·{10}^{10}J$$

En cuanto al trabajo de escape de la órbita:

$$W_{esc}=-\frac{E_p}{2}=-\frac{-1.186·{10}^{11}}{2}=5.93·{10}^{10}J$$

Calcular la energía cinética pedida en el segundo apartado tampoco reviste dificultad:

$$E_c=E_m-E_p=\frac{E_p}{2}-E_p=\frac{-E_p}{2}=-E_m=5.93·{10}^{10}J$$

Observa que el valor de la energía cinética en el movimiento circular del satélite coincide con el valor de la energía mecánica cambiado de signo.

Finalmente para poder calcular el módulo del momento angular del satélite, pedido en el tercer apartado, es importante conocer el valor de la velocidad del satélite, es decir:

$$v=\sqrt{\frac{G·M}{R+h}}=\sqrt{\frac{6.67·{10}^{-11}·5.97·{10}^{24}}{\left(6370+1350\right)·{10}^3}}=7181.9m/s$$

Ahora es el momento de aplicar la expresión del momento angular y obtener su valor:

$$\left|L\right|=\left|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}\right|=m·\left|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}\right|=m·r·v·\sin \left(90º\right)=m·r·v=2300·\left(6470+1350\right)·{10}^3·7181.9=1.275·{10}^{14} kg·m^2/s$$