Energía de puesta en órbita de un satélite

Datos

• Masa del satélite: m = 450 kg
• Masa de la Tierra: M = 5.97·10²⁴ kg
• Radio de la órbita: R = 8000 km = 8000·10³ m
• Radio de la Tierra: R_T = 6371 km = 6371·10³ m

Consideraciones previas

• Supondremos una órbita circular
• Para que un satélite pueda describir una órbita estable alrededor de la Tierra se debe cumplir la condición de estabilidad dinámica que, basicamente, establece que la fuerza centrípeta del movimiento es la fuerza de la gravedad. De dicha condición, se puede deducir la velocidad (y por tanto, la energía cinética) que debe tener el satélite en función del radio de la órbita

• A partir de la cinética y la potencial (deducible directamente del radio de la órbita) podemos obtener la energía mecánica del satélite. Hemos visto que se puede calcular según:

  $$E_{m_{orb}}=\frac{{E_p}_{orb}}{2}=-G·\frac{M·m}{2·R}$$

• La energía que tenemos que suministrar será la diferencia de energía mecánica que tiene el satélite en órbita respecto a la que tiene en superficie. Dado que la variación de energía de los cuerpos se producen mediante el desarrollo de un trabajo, la energía que hay que suministrar al satélite es, justamente, el trabajo de puesta en órbita. Por tanto, dicho trabajo de puesta en órbita, que se encarga de situar al satélite en la órbita requerida, viene dado por:

  $$W_{ext}=∆E_m=E_{m_{orb}}-E_{m_{sup}}$$

• Podemos suponer que la energía cinética del satélite en la superficie es cero (despreciamos la rotación de la Tierra)

Resolución

A partir de las consideraciones anteriores, podemos escribir:

$$\begin{gathered} W_{ext}=∆E_m=E_{m_{orb}}-E_{m_{sup}}=\frac{E_{p_{orb}}}{2}-E_{p_{sup}}=-G·\frac{M·m}{2·R}-\left(-G·\frac{M·m}{R_T}\right)=G·M·m·\left(\frac{1}{R_T}-\frac{1}{2R}\right)= \\ =6.67·{10}^{-11}· 5.97·{10}^{24}·450·\left(\frac{1}{6370·{10}^3}-\frac{1}{2·8000·{10}^3}\right)=1.69·{10}^{10}J \end{gathered}$$

Observa que el signo del trabajo, positivo, indica que dicho trabajo aumenta la energía del satélite.