Posición de nodos y vientres en distintas ondas estacionarias

Datos

• Las ecuaciones de las ondas estacionarias proporcionadas son:
  • $y=2·\sin \left(3·\pi ·x\right)·\cos \left(100·\pi ·t\right) m$
  • $y=2·\cos \left(3·\pi ·x\right)·\sin \left(100·\pi ·t\right) m$
  • $y=2·\cos \left(3·\pi ·x\right)·\cos \left(100·\pi ·t\right) m$

Resolución

En primer lugar, debemos tener claro que son los vientres y los nodos. Los vientres son aquellos puntos de la onda estacionaria que vibran con la máxima amplitud. Los nodos son aquellos puntos de la onda estacionaria en los que la onda no vibra. Para determinar unos y otros, nos fijamos en el seno, o en el coseno, según corresponda, en el que se encuentra la variable x. Los nodos se encontrarán en aquellos valores de x que anulen dicho seno o coseno y las vientres en aquellos valores de x que los hagan 1 o -1.

Onda $y=2·\sin \left(3·\pi ·x\right)·\cos \left(100·\pi ·t\right) m$

Vientres:

$$\sin \left(3·\pi ·x\right)=0\Rightarrow 3·\pi ·x=\left(2·n+1\right)·\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{\left(2·n+1\right)}{6}$$

Por tanto, el primer vientre (n=0) se encuentra en x=1/6 m, el segundo en x=1/2 m, el tercero en x=5/6 m y así sucesivamente. La separación entre vientres queda entonces: 1/2-1/6=5/6-1/2=1/3 m

Nodos:

$$\sin \left(3·\pi ·x\right)=0\Rightarrow 3·\pi ·x=n·\pi \Rightarrow x=\frac{n}{3}$$

Por tanto, el primer nodo n=0 se encuentra en x=0 m, el segundo en x=1/3 m, el tercero en x=2/3 m y así sucesivamente. La separación entre nodos, queda entonces: 1/3-0=2/3-1/3=1/3 m

La separación entre un nodo y un vientre se puede calcular a partir del primer nodo y el primer vientre, por ejemplo, según: 1/6-0 = 1/6 m y es justamente la mitad de la separación entre dos nodos o dos vientres.

Onda $y=2·\cos \left(3·\pi ·x\right)·\sin \left(100·\pi ·t\right) m$

Si repetimos el proceso anterior, teniendo en cuenta esta vez el coseno, nos quedará que los vientres de esta onda son justamente los nodos de la onda. Observa.

Vientres:

$$\cos \left(3·\pi ·x\right)=\pm 1\Rightarrow 3·\pi ·x=n·\pi \Rightarrow x=\frac{n}{3}$$

Por tanto, el primer vientre n=0 se encuentra en x=0 m, el segundo en x=1/3 m, el tercero en x=2/3 m y así sucesivamente. La separación entre vientres, queda entonces: 1/3-0=2/3-1/3=1/3 m

Nodos:

$$\cos \left(3·\pi ·x\right)=0\Rightarrow 3·\pi ·x=\left(2·n+1\right)·\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{\left(2·n+1\right)}{6}$$

Por tanto, el primer nodo (n=0) se encuentra en x=1/6 m, el segundo en x=1/2 m, el tercero en x=5/6 m y así sucesivamente. La separación entre nodos queda entonces: 1/2-1/6=5/6-1/2=1/3 m

La separación entre un nodo y un vientre se puede calcular a partir del primer nodo y el primer vientre, por ejemplo, según: 1/6-0 = 1/6 m y es justamente la mitad de la separación entre dos nodos o dos vientres.

Onda $y=2·\cos \left(3·\pi ·x\right)·\cos \left(100·\pi ·t\right) m$

El desarrollo para esta onda es exactamente igual que para la anterior, ya que la variable x se encuentra igualmente afectada de un coseno y su número de onda es el mismo. Así, los nodos y vientres estarán en las mismas posiciones.