Ángulo de aceptación en fibra óptica

Datos

• Índice de refracción del núcleo: n_n = 1.5
• Índice de refracción de la cubierta: n_c = 1.4

Resolución

Dado que en la reflexión los ángulos de incidencia y reflexión son iguales, quedarán atrapados en la fibra aquellos rayos tales que, tras producirse su primera reflexión esta cumpla la condición de reflexión total. El resto irán perdiendo su energía en las sucesivas refracciones del interior de la fibra. Así, podemos partir de la siguiente imagen:

Recuerda que cuando la luz pasa de un medio a otro de menor índice de refracción los rayos se alejan de la normal. Por tanto, todos los ángulos de incidencia desde el exterior de la fibra que sean menores a θ_a harán que los de refracción $\hat{r}$  disminuyan, lo cual hará a su vez que el ángulo de incidencia en la cubierta de la fibra aumente, quedando por encima del ángulo crítico y produciéndose una reflexión total. Por contra si el ángulo de incidencia desde el exterior de la fibra es mayor a θ_a, aumentaría $\hat{r}$ lo cual haría disminuir el ángulo de incidencia sobre la cubierta, quedando por debajo de el ángulo crítico y no produciéndose la reflexión total. En resumen: el rayo queda atrapado en la fibra cuando es menor que el ángulo de aceptación.

Comenzamos calculando el ángulo crítico:

$${\theta }_c={\sin }^{-1}\left(\frac{n_c}{n_n}\right)={\sin }^{-1}\left(\frac{1.4}{1.5}\right)=68.9º$$

A partir de dicho ángulo, y teniendo en cuenta que los ángulos de un triángulo siempre suman 180º, podemos determinar $\hat{r}$ :

$$90+68.9+\hat{r}=180\Rightarrow \hat{r}=21.1º$$

Finalmente, aplicando la ley de Snell de la refracción en la entrada de la fibra y asumiendo que el exterior es de aire, con índice de refracción 1, nos queda:

$$\begin{gathered} n_1·\sin \left({\theta }_a\right)=n_n·\sin \left(\hat{r}\right)\Rightarrow \sin \left({\theta }_a\right)=\frac{n_n}{n_1}·\sin \left(\hat{r}\right)=\frac{1.5}{1}\sin \left(21.1º\right)=0.53 \\ {\theta }_a={\sin }^{-1}\left(0.53\right)=32.68º \end{gathered}$$

Observa que este valor define un ángulo tal y como se define en la figura anterior (de la normal hacia abajo) pero también de la normal hacia arriba (los rayos cuya primera reflexión se haría en la parte inferior de la fibra. Así, si llevamos a las tres dimensiones la figura anterior, teniendo en cuenta que las fibras suelen ser cilíndricas, el ángulo de aceptación se convierte en un cono de aceptación, como se refleja en la siguiente ilustración: