Seno, coseno y tangente sin utilizar calculadora (resta ángulos)

Consideraciones previas

Utilizaremos las identidades trigonométricas para convertir las razones pedidas en razones de ángulos que ya conocemos sin utilizar la calculadora.

Una vez resuelvas este ejercicio, te recomendamos que visites también este otro en el que se vinculan los ángulos conocidos a través de la suma de ángulos en lugar de la resta.

Resolución

$$\begin{gathered} \sin 15º = \sin \left(45º-30º\right)=\sin 45º·\cos 30º-\cos 45º·\sin 30º\Rightarrow \\ \sin 15º =\frac{\sqrt{2}}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}·\frac{1}{2}\Rightarrow \\ \boxed{\sin 15º=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{2}}{4}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos 15º=\cos \left(45º-30º\right)=\cos 45º· \cos 30º + \sin 45º ·\hspace{0.17em}\sin 30º\Rightarrow \\ \cos 15º=\frac{\sqrt{2}}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}·\frac{1}{2}\Rightarrow \\ \boxed{\cos 15º=\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{2}}{4}} \end{gathered}$$

Para el cálculo de la tangente podemos dividir las dos razones anteriores, o aplicar la fórmula vista en el apartado de teoría para la tangente de la suma de dos ángulos:

$$\begin{gathered} \text{tg} 15º=\text{tg}\left(45º-30º\right)=\frac{\text{tg} 45º-\text{ tg} 30º}{1+\text{tg} 45º·\text{tg} 30º}\Rightarrow \\ \text{tg} 15º=\frac{1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}}{1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}}= \\ \boxed{\text{tg} 15º = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}} \end{gathered}$$