Espejo esférico cóncavo

Datos

• Espejo cóncavo
• Radio del espejo: |R| = 98 cm = 9.8·10^-1 m
• Altura del objeto: y = 12 cm = 1.2·10^-1 m
• Distancia del objeto al espejo en el primer caso: |s₁| = 22 cm = 2.2·10^-1 m
• Distancia del objeto al espejo en el segundo caso: |s₂| = 49 cm = 4.9·10^-1 m
• Distancia de la imagen al espejo en el tercer caso: |s₃'| = 82 cm = 8.2·10^-1 m

Consideraciones previas

Observa que hemos indicado las magnitudes en valor absoluto. La razón es que hasta que no situemos los distintos elementos en el plano y hayamos decidido el criterio de signos, no podemos asignarle uno. Como habitualmente, seguiremos el criterio DIN.

Resolución

Comenzamos buscando la distancia focal del espejo, a partir de su radio. Dado que se trata de un espejo cóncavo, el radio es negativo, al encontrarse a la izquierda del vértice óptico:

$$f=\frac{R}{2}=\frac{-0.98}{2}=-0.49 m =-\hspace{0.17em}49 cm$$

La distancia s₁ también es negativa, al encontrarse a la izquierda del espejo. Apliquemos la ecuación fundamental para determinar s₁' :

$$\frac{1}{s_1\text{'}}+\frac{1}{s_1}=\frac{1}{f}\Rightarrow \frac{1}{s_1\text{'}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_1}\Rightarrow s_1\text{'}=\frac{f·s_1}{s_1-f}=\frac{\left(-0.49\right)·\left(-0.22\right)}{\left(-0.22\right)-\left(-0.49\right)}=0.39 m =\hspace{0.17em}39 cm$$

Observa que la imagen se produce a la derecha del espejo, y por tanto es una imagen virtual. Por otro lado, recurrimos al aumento transversal o lateral para el cálculo del tamaño de la imagen:

$$A_{L_1}=\frac{y_1\text{'}}{y}=-\frac{s_1\text{'}}{s_1}\Rightarrow y_1\text{'}=-y·\frac{s_1\text{'}}{s_1}=-0.12·\frac{0.39}{-0.22}=0.21 m=21 cm$$

Es decir, se trata de una imagen derecha y mayor que la original.

En el segundo apartado del problema nos piden que digamos dónde se formará la imagen cuando el objeto se sitúa a 49 cm del espejo, esto es, en el foco. Como sabemos de teoría, la imagen se formará en el infinito. Podemos justificarlo a partir de la ecuación fundamental (ten presente que s₂ también es negativa al encontrarse a la izquierda del espejo):

$$\frac{1}{s_2\text{'}}+\frac{1}{s_2}=\frac{1}{f}\Rightarrow \frac{1}{s_2\text{'}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_2}\Rightarrow s_2\text{'}=\frac{f·s_2}{s_2-f}=\frac{\left(-0.49\right)·\left(-0.49\right)}{\left(-0.49\right)-\left(-0.49\right)}=\infty$$

Finalmente, podemos repetir el proceso para el último caso, teniendo presente que s₃' < 0 :

$$\frac{1}{s_3\text{'}}+\frac{1}{s_3}=\frac{1}{f}\Rightarrow \frac{1}{s_3}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_3\text{'}}\Rightarrow s_3=\frac{f·s_3\text{'}}{s_3\text{'}-f}=\frac{\left(-0.49\right)·\left(-0.82\right)}{\left(-0.82\right)-\left(-0.49\right)}=-1.21 m =\hspace{0.17em}-121 cm$$

Como puedes ver, la imagen se forma en el mismo lado en que está el objeto y con un tamaño:

$$A_{L_3}=\frac{y_3\text{'}}{y}=-\frac{s_3\text{'}}{s_3}\Rightarrow y_3\text{'}=-y·\frac{s_3\text{'}}{s_3}=-0.12·\frac{-0.82}{-1.21}=-0.119 m\approx -12 cm$$

Es decir, se trata de una imagen real invertida, de tamaño prácticamente igual que la original.