Momento de un vector respecto a distintos puntos

Enunciado

dificultad

Determina el momento del vector $\vec{V} = 6 \cdot \vec{i} - 3 \cdot \vec{j} + 4 \cdot \vec{k}$ respecto al origen de coordenadas, sabiendo que su vector de posición, respecto de dicho origen, es el $\vec{r} = - 3 \cdot \vec{i} - 6 \cdot \vec{j} + 3 \cdot \vec{k}$ . Posteriormente, calcula el momento respecto al punto P(1,1,1).

Solución

Datos

Vector $\vec{V} = 6 \cdot \vec{i} - 3 \cdot \vec{j} + 4 \cdot \vec{k}$
Primer punto considerado: O(0,0,0)
Vector de posición del vector respecto al origen: $\vec{r} = - 3 \cdot \vec{i} - 6 \cdot \vec{j} + 3 \cdot \vec{k}$
Segundo punto considerado: P(1,1,1)

Resolución

Aplicando la expresión del momento de un vector respecto a un punto nos queda:

${\vec{M}}_{0} = \vec{r} \times \vec{V} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 3 & - 6 & 3 \\ 6 & - 3 & 4 \end{matrix}| = - 15 \cdot \vec{i} + 30 \cdot \vec{j} + 45 \cdot \vec{k}$

Por otro lado, para el cálculo del momento respecto al punto P(1,1,1), debemos determinar primeramente el vector de posición del vector $\vec{V}$ respecto a ese punto. Dicho vector, al que llamaremos ${\vec{r}}_{v p}$ viene determinado por:

${\vec{r}}_{v p} = \vec{r} - \vec{p} = - 3 \cdot \vec{i} - 6 \cdot \vec{j} + 3 \cdot \vec{k} - (\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) = - 4 \cdot \vec{i} - 7 \cdot \vec{j} + 2 \cdot \vec{k}$

Para el cálculo de el momento respecto al nuevo punto aplicamos la misma expresión que anteriormente:

${\vec{M}}_{P} = {\vec{r}}_{v p} \times \vec{V} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 4 & - 7 & 2 \\ 6 & - 3 & 4 \end{matrix}| = - 22 \cdot \vec{i} + 28 \cdot \vec{j} + 54 \cdot \vec{k}$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas

Apartados relacionados

\vec{a} \times \vec{b} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix}| = (a_{y} \cdot b_{z} - b_{y} \cdot a_{z}) \cdot \vec{i} + (a_{z} \cdot b_{x} - b_{z} \cdot a_{x}) \cdot \vec{j} + (a_{x} \cdot b_{y} - b_{x} \cdot a_{y}) \cdot \vec{k}

Producto Vectorial

{\vec{M}}_{o} = \vec{r} \times \vec{V}

Momento de un Vector

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