Momento angular de partícula en traslación

Enunciado

dificultad

Una partícula puntual se encuentra en reposo en la posición $\vec{r} = d \cdot \vec{i} m$ cuando se le imprime una velocidad inicial v₀ en el sentido negativo del eje y. En dicho instante, comienza a acelerarse debido a la gravedad terrestre.

¿Cuál es el momento angular con respecto al origen en función del tiempo?
Determina el momento de fuerza que actúa sobre la partícula en cualquier instante con respecto al origen

Solución

Datos

Velocidad inicial del cuerpo ${\vec{v}}_{0} = - v_{0} \cdot \vec{j}$
Vector de posición inicial $\vec{r} = d \cdot \vec{i}$
Aceleración que actúa sobre el cuerpo: ${\vec{a}}_{g} = - 9.8 \cdot \vec{j}$

Resolución

El momento angular de una partícula respecto a un punto viene dada por la expresión:

$\vec{L} = \vec{r} \times m \cdot \vec{v}$

Ahora bien, nos encontramos ante un movimiento de lanzamiento vertical hacia abajo por lo que podemos escribir que la velocidad, en un punto cualquiera, vendrá dada por la expresión:

$\vec{v} = {\vec{v}}_{0} + \overset{⇀}{a} \cdot t = (- v_{0} - g \cdot t) \cdot \vec{j}$

Por otro lado, podemos escribir el vector de posición en función del tiempo como:

$\vec{r} = r_{x} \cdot \vec{i} + r_{y} \cdot \vec{j} = d \cdot \vec{i} + (- v_{o} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}) \cdot \vec{j}$

A partir de las expresiones anteriores podemos escribir:

$\vec{L} = \underset{\vec{r}}{\underset{⏟}{(d \cdot \vec{i} + (- v_{0} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}) \cdot \vec{j})}} \times m \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(- v_{0} - g \cdot t) \cdot \vec{j}}} \underset{[1]}{=} (- d \cdot m \cdot v_{0} - d \cdot m \cdot g \cdot t) \cdot \vec{k} k g \cdot m^{2} \cdot s^{- 1}$

Donde en [1] hemos aplicado la propiedad distributiva del producto vectorial, que $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$ y que $\vec{j} \times \vec{j} = \vec{0}$ .

Por otro lado, para determinar el momento de fuerza que actúa sobre la partícula podemos seguir dos caminos distintos.

Camino I

La fuerza que actúa sobre la partícula es:

$\vec{F} = m \cdot \vec{a} = - m \cdot g \cdot \vec{j}$

Por otro lado, conocemos como evoluciona la posición de la partícula a lo largo del tiempo, por lo que podemos aplicar la expresión del momento de fuerza, esto es:

${\vec{M}}_{O} = \vec{r} \times \vec{F} = \underset{\vec{r}}{\underset{⏟}{(d \cdot \vec{i} + (- v_{0} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}) \cdot \vec{j})}} \times \underset{\vec{F}}{\underset{⏟}{- m \cdot g \cdot \vec{j}}} \underset{[2]}{=} - d \cdot m \cdot g \cdot \vec{k} N \cdot m$

Donde en [2] hemos tenido en cuenta las mismas consideraciones que en [1].

Camino II

La variación del momento angular en el tiempo es, justamente el momento de fuerza que actúa sobre la partícula. Por tanto podemos escribir:

${\vec{M}}_{O} = \frac{d \vec{L}}{d t} = - d \cdot m \cdot g \cdot \vec{k}$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas

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