Energía potencial elástica y gravitatoria en muelle

Datos

• Constante elástica del muelle K = 9 N/cm = 900 N/m
• Masa del cuerpo: 0.5 kg
• ∆y_extra = 2 cm = 2·10^-2 m

Consideraciones previas

• Se hace necesario conocer  la distancia inicial al punto de equilibrio. Cuando se sitúa la caja sobre el muelle, este se comprime. Se alcanza el equilibrio cuando el módulo del peso igual al módulo de la fuerza elástica. Esta última sigue la Ley de Hooke
• En la caja existen dos tipos de energía potencial, la elástica y la gravitatoria. Aunque no podemos conocer la energía potencial gravitatoria de cada punto, pues no sabemos a que altura sobre el suelo se encuentra la caja, si que podemos conocer la diferencia de energía potencial entre dos puntos.
• Para mover 2 cm más la caja, calculamos la diferencia de energía potencial total (elástica más gravitatoria) en el punto inicial y en el punto final. El trabajo necesario para mover la caja esos 2 cm extras lo realiza una fuerza externa y coincide con la diferencia de energía potencial total entre ambos puntos
• Consideramos el valor de g = 9.8 m/s

• La siguiente imagen representa la situación:

  

Resolución

Comenzamos calculando la distancia inicial del muelle al punto de equilibrio ∆y_i, una vez alcanzado el equilibrio mecánico, es decir, cuando se igualan el peso y la fuerza elástica inicial en módulo.

$$P=F_{e_i}\Rightarrow m·g =\hspace{0.17em}k∆x_i\Rightarrow ∆x_i=\frac{m·g}{K}=5.45·{10}^{-3}\text{m}$$ 

Calculamos ahora la diferencia de energía potencial gravitatoria de la caja entre la posición inicial y final:

$$∆E_{p_g}=m·g·∆h=0.5·9.8·(-2·{10}^{-2})=-0.098 \text{J}$$ 

Calculamos la diferencia de energía potencial elástica entra la posición inicial y final

$$∆E_{p_e}=E_{p_{e_f}}-E_{p_{e_i}}=\frac{1}{2}·k·(∆x_i+∆x_f{)}^2-\frac{1}{2}·k·∆{x_i}^2;$$

$$∆E_{p_e}=\frac{1}{2}·900·(5.45·{10}^{-3}+2·{10}^{-2}{)}^2-\frac{1}{2}·900·(2·{10}^{-2}{)}^2=0.111 \text{J}$$

Calculamos la diferencia de energía potencial como la suma de las diferencias de la energía potencial elástica y la gravitatoria:

$$∆E_p=∆E_{p_g}+∆E_{p_e}=-0.098+0.111=0.013 \text{J}$$ 

Para variar la energía potencial debe invertirse un trabajo externo que coincide en valor exactamente con esa variación de energía potencial (fuerzas conservativas):

$$W=∆E_p=\boxed{0.013 \text{J}}$$