Masas en contacto

En el cuerpo A intervienen las siguientes fuerzas:

• la fuerza F que se aplica sobre A en la parte superior y que es equivalente a aplicarla con la misma dirección y sentido desde su centro. Esta se puede descomponer en dos fuerzas Fx y Fy para que coincidan con la dirección de los ejes de coordenadas.
• Como A empuja a B, por el principio de acción reacción B ejercerá sobre A una fuerza de reacción que llamaremos F_BA.
• La fuerza normal (N_A)
• El peso del cuerpo (P_A)
• La fuerza de rozamiento (F_RA)

Por otro lado en el cuerpo B se aplican:

• La fuerza que ejerce la caja A sobre B y que llamaremos F_AB.
• Su fuerza normal (N_B)
• El peso de la caja B (P_B)
• La fuerza de rozamiento con el suelo (F_RB)

Si dibujamos el diagrama de cuerpo libre de cada caja, obtendremos lo siguiente:

Vamos a estudiar independientemente cada una de las cajas.

Caja A

Si aplicamos la segunda ley de newton a la resultante de cada uno de los ejes del sistema de referencia, obtenemos que:

$$\begin{gathered} {\sum }_{}{\overrightarrow{F}}_x=m_A·{\overrightarrow{a}}_{Ax} \\ {\sum }_{}{\overrightarrow{F}}_y=m_A·{\overrightarrow{a}}_{Ay} \end{gathered}$$

Aplicando la definición de resultante:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_{RA}+{\overrightarrow{F}}_{BA}=m_A·{\overrightarrow{a}}_{Ax} \\ {\overrightarrow{N}}_A+{\overrightarrow{P}}_A+{\overrightarrow{F}}_y=m_A·{\overrightarrow{a}}_{Ay} \end{gathered}$$

En vez de utilizar vectores, vamos a emplear sus módulos para realizar los cálculos más cómodamente. En este caso, siguiendo el primero de los criterios del apartado Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos :

$$\begin{gathered} F_x-F_{RA}-F_{BA}=m_A·{a_A}_x \\ {N}_A-P_A-F_y=m_A·{a_A}_y \end{gathered}$$

Como el movimiento se realiza en horizontal a_Ay=0 y a_Ax=a_A. Además si sustituimos los valores de Fx, Fy y la fuerza de rozamiento:

$$\begin{gathered} F·\cos \left(\alpha \right)-{\mu }_A·N_A-F_{BA}=m_A·a_A \\ {N}_A=P_A+F·\sin \left(\alpha \right) \end{gathered}$$

Sustituyendo el valor de N_A de la segunda ecuación en la primera, tenemos que:

$$F·\cos \left(\alpha \right)-{\mu }_A·P_A-{\mu }_A·F·\sin \left(\alpha \right)-F_{BA}=m_A·a_A \left[1\right]$$

Caja B

Aplicando la misma metodología que en la caja A, obtenemos que para el caso de la caja B:

$$\begin{gathered} F_{AB}-F_{RB}=m_B·a_{Bx} \\ {N}_B-P_B=m_B·\cancel{a_{By}} \end{gathered}$$

Sustituyendo:

$$\begin{gathered} F_{AB}-{\mu }_B·N_B=m_B·a_{Bx} \\ {N}_B=m_B·g \end{gathered}$$

Por último, sustituyendo la segunda ecuación en la primera, nos queda:

$$\underline{F_{AB}-{\mu }_B·m_B·g=m_B·a_{Bx}} \left[2\right]$$

Como finalmente las dos cajas se mueven a la vez, se cumple que a_A=a_B=a. Además, como F_AB y F_BA son fuerzas de acción reacción, se cumple que F_AB=F_BA. Por tanto, si sumamos las ecuaciones [1] y [2]:

$$\begin{gathered} F·\cos \left(\alpha \right)-{\mu }_A·\left(m_A·g+F·\sin \left(\alpha \right)\right)-{\mu }_B·m_B·g=(m_A+m_B)·a \Rightarrow \\ \boxed{a=\frac{F·\cos \left(\alpha \right)-{\mu }_A·\left(m_A·g+F·\sin \left(\alpha \right)\right)-{\mu }_B·m_B·g}{(m_A+m_B)}} \end{gathered}$$