Gravedad de Marte

Datos

M_M = 6.42·10²³ kg
R_M = 3397 km = 3397 · 10³ m
G = 6.67·10^-11 N·m²/kg²

Resolución

Sabiendo que la gravedad de un cuerpo se calcula por medio de la siguiente expresión:

$$g=G·\frac{M_M}{{R_M}^2}$$

Por tanto:

$$\begin{gathered} g=6.67·{10}^{-11} N·m^2/k{g}^2 · \frac{{\mathrm{6.42·10}}^{23} kg}{{\left(3397·{10}^3 m\right)}^2 } \\ \boxed{g = 3.71 m/s} \end{gathered}$$

Atendiendo ahora al problema del lanzamiento vertical en Marte, en primer lugar deberemos calcular la velocidad inicial, con la que se lanza la pelota en la Tierra. Para ello, haremos uso de la ecuación de la posición y de velocidad de este tipo de movimiento:

$$\left.\begin{array}{r}y=H+v_0·t-\frac{1}{2}g·t^2 \\ v=v_0-g·t\end{array}\right\}$$

Lanzamiento vertical en la Tierra

$$\left.\begin{array}{r}20=0+v_0·t-\frac{1}{2}9.8·t^2\\ 0=v_0-9.8·t\end{array}\right\}$$

Si despejamos la segunda ecuación, obtenemos que v₀ es;

$$v_0=9.8·t$$

Y sustituyendo en la primera, obtenemos que t vale:

$$\begin{gathered} 20=9.8·t^2-\frac{1}{2}9.8·t^2 \Rightarrow \\ 20=\frac{1}{2}9.8·t^2 \Rightarrow \\ t=\sqrt{4.08} \Rightarrow \\ \boxed{t = 2.02 s} \end{gathered}$$

Volviendo a sustituir el nuevo valor en la segunda:

$$v_0=9.8 · 2.02 = \underline{19.79 m/s}$$

Lanzamiento vertical en Marte

Una vez que conocemos la velocidad inicial con que se lanzó la bola en la Tierra, ahora vamos a calcular la altura máxima que alcanzará la bola en Marte con dicha velocidad inicial. Para ello, en primer lugar vamos a calcular el tiempo que tardará en alcanzar la altura máxima:

$$\begin{gathered} v=v_0-g·t \Rightarrow \\ 0 = 19.79-3.71·t \Rightarrow \\ \boxed{t=5.33 s} \end{gathered}$$

Y una vez que sabemos el tiempo, ya podemos emplear todos los datos calculados para calcular la altura máxima:

$$\begin{gathered} y=H+v_0·t-\frac{1}{2}g·t^2 \Rightarrow \\ y=0+19.79·5.33-\frac{1}{2}3.71·{\left(5.33\right)}^2 \Rightarrow \\ \boxed{y = 52.78 m} \end{gathered}$$