Sistemas de ecuaciones trigonométricas

Consideraciones previas

Visita el apartado teórico de ecuaciones trigonométricas para ver algunas estrategias de resolución generales.

Resolución

1.-

$$\boxed{\left\{\begin{array}{l}2\sin \left(x\right)+3\cos \left(y\right)=4\\ 10\sin \left(x\right)-20\cos \left(y\right)=-15\end{array}\right.}$$

Este sistema es un candidato formidable para empezar haciendo un cambio de variable t=sin(x) y v=cos(y):

$$\left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)=\sin \left(30\right)\Rightarrow x=30+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \sin \left(x\right)=\sin \left(150\right)\Rightarrow x=150+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.\\ \cos \left(y\right)=1\Rightarrow y=0+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$$

2.-

$$\boxed{\left\{\begin{array}{l}2{\sin }^2\left(x/2\right)-2\sin \left(y\right)=\frac{1}{2}\\ 2\cos \left(x\right)+2\cos \left(y\right)=\frac{1}{2}\end{array}\right.}$$

Podemos utilizar la expresión del seno del ángulo mitad sobre la primera ecuación para dejarlo en función de x, en lugar de x/2:

$$2{\sin }^2\left(x/2\right)-2\sin \left(y\right)=\frac{1}{2}\underset{\sin \left(\frac{A}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos \left(A\right)}{2}}}{\Rightarrow }1-\cos \left(x\right)-2\sin \left(y\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow \cos \left(x\right)=\frac{1}{2}-2\sin \left(y\right)$$

Y sustituyendo en la segunda ecuación, nos queda:

$$1-4\sin \left(y\right)+2{\cos }^2\left(y\right)=\frac{1}{2}$$

Aplicamos la identidad fundamental de la trigonometría quedando:

$$1-4\sin \left(y\right)+2\left(1-{\sin }^2\left(y\right)\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow -2{\sin }^2\left(y\right)-4\sin \left(y\right)+\frac{5}{2}=0$$

Para resolver dicha ecuación podemos hacer un cambio de variable t=sin(y):

$$2t^2+4t-\frac{5}{2}=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\xcancel{t_1=-\frac{5}{2}}\\ t_2=\frac{1}{2}\end{array}\right.$$

Donde hemos descartado la solución t₁ porque el seno no puede ser menor que -1. Podemos solucionar de manera directa:

$$\sin \left(y\right)=\frac{1}{2}\left\{\begin{array}{l}\sin \left(y\right)=\sin \left(30\right)\Rightarrow y=30+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \sin \left(y\right)=\sin \left(150\right)\Rightarrow y=150+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$$

Ahora podemos obtener el valor de x:

$$\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}-2\stackrel{1/2}{\overbrace{\sin \left(y\right)}}\Rightarrow \cos \left(x\right)=-\frac{1}{2}\left\{\begin{array}{l}\cos \left(x\right)=\cos \left(120\right)\Rightarrow x=120+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \cos \left(x\right)=\cos \left(240\right)\Rightarrow x=240+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$$

Siendo cualquiera de ellas una solución válida.

3.-

$$\boxed{\left\{\begin{array}{l}\cos \left(x\right)-\sqrt{3}=-\sin \left(y\right)\\ \tan \left(x\right)=\cot \left(y\right)\end{array}\right.}$$

En primer lugar, observa que se trata de ángulos complementarios, al ser tan(x)=1/tan(y), con lo que x+y=90. De otro lado, en los ángulos complementarios se cumple que cos(x)=sin(y), con lo que podemos reescribir la segunda ecuación:

$$\cos \left(x\right)-\sqrt{3}=-\sin \left(y\right)\Rightarrow \sin \left(y\right)-\sqrt{3}=-\sin \left(y\right)\Rightarrow 2\sin \left(y\right)=\sqrt{3}$$

Que podemos resolver de manera directa...

$$2\sin \left(y\right)=\sqrt{3}\Rightarrow \sin \left(y\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin \left(y\right)=\sin \left(60\right)\Rightarrow y=60+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \sin \left(y\right)=\sin \left(120\right)\Rightarrow y=120+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$$

Por tanto, podemos calcular x teniendo en cuenta que son complementarios:

$$\left\{\begin{array}{l}y=60\Rightarrow x=30+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ y=120\Rightarrow x=-30+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$$