Campo Eléctrico Creado por un Hilo Cargado Uniformemente

Imagina un hilo uniformemente cargado cuya densidad lineal de carga es λ (λ=Q/L).

Demostración

Para determinar el valor de la intensidad del campo eléctrico en cada punto próximo a nuestra hilo utilizaremos el teorema de Gauss y la definición de flujo eléctrico sobre una superficie cerrada. Pero previamente, haremos unas consideraciones previas.

Consideraciones Previas

Las distribuciones lineales de carga generan un campo eléctrico radial en cada plano perpendicular al hilo. (figura 1).

Debido a lo anterior, el valor de la intensidad del campo eléctrico será igual en todos los puntos situados a la misma distancia R del hilo. Esto provoca que se cree una especie de cilindro "virtual" de radio R en la que en cada punto de su superfice situado a dicha distancia R posea la misma intensidad. Si te das cuenta las líneas de campo únicamente atraviesan los laterales del cilindro, no circulando nunca por sus bases. (figura 2).

Aplicación del teorema de Gauss

Si utilizamos el teorema de Gauss para determinar el valor de E, es común seguir los siguientes pasos:

1. Se escoge una superficie cerrada que envuelva al objeto que crea el campo eléctrico. Dicha superficie denominada superficie gaussiana debe poseer un área fácil de obtener y debe ser perpendicular a dicho campo eléctrico. En nuestro caso, parece evidente que la superficie gaussiana debería ser el cilindro "virtual".

2. Se aplica la expresión general del flujo eléctrico para cualquier tipo de superficie. Aquí tendremos en cuenta que el flujo total que atraviesa el cilindro es la suma de los flujos que atraviesan todas sus caras. Sin embargo, dado que las líneas de campo solo atraviesan los laterales, el flujo eléctrico por las bases es nulo.

$$\begin{gathered} {\Phi }_E=\cancel{{\Phi }_B}+{\Phi }_L+\cancel{\Phi B }\Rightarrow \\ {\Phi }_E = {\Phi }_L \end{gathered}$$

En nuestro caso como en el el lateral $\overrightarrow{E}$ y $d\overrightarrow{S}$ son paralelos, su producto escalar $\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{S} = E·S·\cos 0 = E·S$:

$${\Phi }_E={\Phi }_L ={\oint }_{S_L}\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{S}={\oint }_{S_L}E·dS =E·{\oint }_{S_L}dS = E·S_L$$

Teniendo en cuenta que la superficie lateral de un cilindro es S_L=2·π·R·h

$${\Phi }_E= E·S_L = E·2·\pi ·R·h$$

3. El valor obtenido en el punto anterior se iguala a la expresión del teorema de Gauss. En nuestro caso, tendremos en cuenta que λ=Q/L.

$${\Phi }_E= \frac{Q}{\epsilon }=\frac{\lambda ·L}{\epsilon }$$

Por tanto, si consideramos que d es la distancia al punto donde medimos la intensidad del campo eléctrico d = R:

$$\begin{gathered} \frac{\lambda ·L}{\epsilon }=E·2·\pi ·d·h\Rightarrow \\ E= \frac{\lambda }{2·\pi ·\epsilon ·d} \end{gathered}$$

Como podemos comprobar hemos calculado el módulo de la intensidad del campo eléctrico en cualquier punto exterior de nuestro hilo cargado sin embargo, si lo que deseamos es conocer el vector, sabemos que este tendrá dirección perpendicular al hilo y su sentido irá:

• Desde el hilo al punto donde se evalúe el campo eléctrico si el exceso de carga del hilo es positiva.
• Desde el punto hasta el hilo si el exceso de carga es negativo.