Campo Eléctrico Creado por una Esfera Cargada Uniformemente

Si disponemos de una esfera cargada uniformemente y por tanto en equilibrio electrostático, esta creará en su entorno un campo eléctrico.

Observa que la expresión sólo es válida cuando evaluamos el campo en un punto de la superficie o exterior a la esfera, ya que como vimos en el apartado del campo eléctrico en el interior de un conductor en equillibrio electrostático, el campo eléctrico en el interior de un cuerpo en estas condiciones siempre es nulo (E = 0)

Demostración

Para determinar el valor de la intensidad del campo eléctrico en cada punto r próximo a nuestra esfera utilizaremos el teorema de Gauss y la definición de flujo eléctrico sobre una superficie cerrada. Pero previamente, haremos unas consideraciones previas.

Consideraciones Previas

Tal y como podemos observar en la imagen anterior, una esfera de radio R cargada uniformemente, al encontrarse en equilibrio electrostático ubica su exceso de carga en la superficie. La presencia de dicha carga crea un campo eléctrico en su exterior, de tal forma que a cualquier distancia r se crea una esfera “virtual” en cuya superficie el campo électrico es el mismo (figura 1). 

En esencia, toda la carga de la esfera se puede ver como la unión de parejas de cargas simétricas (una y otra situadas en lados opuesto de la esfera), de tal forma que en cada punto P de la esfera "virtual", las componentes del campo eléctrico perpendiculares al radio de todas las parejas de cargas (en nuestro ejemplo E_1y y E_2y) se anulan, haciendo que el campo eléctrico resultante esté formado únicamente por las componentes que siguien la dirección del radio (en nuestro ejemplo E_1x, E_2x) (figura 2).

Por esta razón, en cada punto de la esfera “virtual” se cumple que el vector del campo eléctrico sigue la dirección del radio y adicionalmente es paralelo al vector de superficie en dicho punto (figura 3).

Aplicación del teorema de Gauss

Si utilizamos el teorema de Gauss para determinar el valor de E, es común seguir los siguientes pasos:

1. Se escoge una superficie cerrada que envuelva al objeto que crea el campo eléctrico. Dicha superficie denominada superficie gaussiana debe poseer un área fácil de obtener y debe ser perpendicular a dicho campo eléctrico. En nuestro caso, parece evidente que la superficie gaussiana debería ser la esfera "virtual".

2. Se aplica la expresión general del flujo eléctrico para cualquier tipo de superficie. En nuestro caso como $\overrightarrow{E}$ y $d\overrightarrow{S}$ son paralelos, su producto escalar $\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{S} = E·S·\cos 0 = E·S$

$${\Phi }_E={\oint }_S\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{S}={\oint }_{S}E·dS = E·{\oint }_{S}dS = E·S$$

Si tenemos en cuenta que la superficie de una esfera es S=4·π·r², entonces se cumple que:

$${\Phi }_E= E·4·\pi ·r^2$$

3. El valor obtenido en el punto anterior se iguala a la expresión del teorema de Gauss.

$${\Phi }_E= \frac{Q}{\epsilon }$$

Por tanto:

$$\begin{gathered} \frac{Q}{\epsilon }=E·4·\pi ·r^2 \Rightarrow \\ E= \frac{Q}{4·\pi ·\epsilon ·r^2} \end{gathered}$$

Como podemos comprobar hemos calculado el módulo de la intensidad del campo eléctrico en cualquier punto exterior de nuestra esfera cargada sin embargo, si lo que deseamos es conocer el vector, sabemos que este tiene la dirección del radio y sentido "hacia el exterior" de la esfera. De ahí que si denominamos $\overrightarrow{u_r}$ a un vector unitario cuya dirección va desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de nuestra superficie gaussiana, el vector de intensidad de campo eléctrico en dicho punto es el producto del módulo por $\overrightarrow{u_r}$:

$$\overrightarrow{E}=\frac{Q}{4·\pi ·\epsilon ·r^2}·{\overrightarrow{u}}_r$$