Campo Eléctrico Creado por una Lámina Plana Cargada Uniformemente

Imagina una lámina cargada uniformemente cuya densidad superficial de carga es σ (σ=Q/S).

No debes olvidar que la expresión sólo es válida cuando evaluamos el campo generado por una lámina de dimensiones infinitas o simplemente en un punto cuya distancia a la lámina sea despreciable con respecto a sus dimensiones.

Demostración

Para determinar el valor de la intensidad del campo eléctrico en cada punto próximo a nuestra lámina utilizaremos el teorema de Gauss y la definición de flujo eléctrico sobre una superficie cerrada. Pero previamente, haremos unas consideraciones previas.

Consideraciones Previas

En esencia, toda la carga de la lámina se puede ver como la unión de parejas de cargas simétricas (una y otra situadas en lados opuesto de la lámina), de tal forma que en cada punto próximo a ella, las componentes del campo eléctrico perpendiculares al radio de todas las parejas de cargas (en nuestro ejemplo E_1yy E_2y) se anulan, haciendo que el campo eléctrico resultante esté formado únicamente por las componentes que siguen una dirección perpendicular a la superficie de la lámina (en nuestro ejemplo E_1x, E_2x) (figura 1).

Debido a lo anterior, las líneas de campo son perpendiculares a la lámina y si situamos un paralelepípedo en medio podemos observar, que tan solo las líneas de campo atraviesan las bases (S₁ y S₂). El resto de caras quedan intactas (figura 2).

Aplicación del teorema de Gauss

Si utilizamos el teorema de Gauss para determinar el valor de E, es común seguir los siguientes pasos:

1. Se escoge una superficie cerrada que envuelva al objeto que crea el campo eléctrico. Dicha superficie denominada superficie gaussiana debe poseer un área fácil de obtener y debe ser perpendicular a dicho campo eléctrico. En nuestro caso, parece evidente que la superficie gaussiana debería ser el paralelepípedo.

2. Se aplica la expresión general del flujo eléctrico para cualquier tipo de superficie. Aquí tendremos en cuenta que el flujo total que atraviesa el paralelepípedo es la suma de los flujos que atraviesan todas sus caras. Sin embargo, dado que las líneas de campo solo atraviesan S₁ y S₂, el flujo eléctrico en el resto de caras es nulo.

$${\Phi }_E={\Phi }_{S1}+{\Phi }_{S2}$$

En nuestro caso como en ambas bases  $\overrightarrow{E}$ y $d\overrightarrow{S}$ son paralelos, su producto escalar $\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{S} = E·S·\cos 0 = E·S$

$${\Phi }_E={\Phi }_{S1}+{\Phi }_{S2}={\oint }_S\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{S}+{\oint }_S\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{S}=2{\oint }_{S}E·dS =2 E·{\oint }_{S}dS = 2·E·S$$

3. El valor obtenido en el punto anterior se iguala a la expresión del teorema de Gauss. En nuestro caso, tendremos en cuenta que σ=Q/S.

$${\Phi }_E= \frac{Q}{\epsilon }=\frac{\sigma ·S}{\epsilon }$$

Por tanto:

$$\begin{gathered} \frac{\sigma ·S}{\epsilon }=2·E·S\Rightarrow \\ E= \frac{\sigma }{2·\epsilon } \end{gathered}$$

Como podemos comprobar hemos calculado el módulo de la intensidad del campo eléctrico en cualquier punto exterior de nuestra lámina cargada sin embargo, si lo que deseamos es conocer el vector, sabemos que este tendrá dirección perpendicular a la lámina y su sentido irá:

• Desde la lámina al punto donde se evalué el campo eléctrico si el exceso de carga de la lámina es positivo.
• Desde el punto hasta la lámina si el exceso de carga es negativo.