Ecuaciones del Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (M.C.U.A)

Un cuerpo realiza un movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a), también conocido como movmiento circular uniformemente variado (m.c.u.v), cuando su trayectoria es una circunferencia y su aceleración angular es constante. En este apartado vamos a estudiar:

• Las fórmulas que corresponden con este tipo de movimiento
• La relación que guardan las magnitudes lineales con las magnitudes angulares
• Cómo deducir las ecuaciones del m.c.u.a.

Ecuaciones del M.C.U.A.

Aunque las anteriores son las ecuaciones principales del m.c.u.a. y las únicas necesarias para resolver los ejercicios, en ocasiones resulta útil contar con la siguiente expresión: 

$${\omega }^2={\omega }_0^2+2·\alpha ·∆\phi$$

La fórmula anterior permite relacionar la velocidad angular y el ángulo recorrido, conocida la aceleración angular y puede ser deducida de las anteriores, tal y como puede verse a continuación.

$$\left\{\begin{array}{l}\omega ={\omega }_0+\alpha ·t\\ \phi ={\phi }_0+{\omega }_0·t+\frac{1}{2}·\alpha ·t^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{\omega -{\omega }_0}{\alpha }\\ ∆\phi ={\omega }_0·t+\frac{1}{2}·\alpha ·t^2\Rightarrow ∆\phi ={\omega }_0\left(\frac{\omega -{\omega }_0}{\alpha }\right)+\frac{1}{2}·\alpha ·{\left(\frac{\omega -{\omega }_0}{\alpha }\right)}^2\end{array}\right.;$$

$$2·\alpha ·∆\phi ={\omega }^2-{\omega }_0^2$$

Relación entre Magnitudes Angulares y Lineales

El m.c.u.a. es un movimiento circular, y como tal, las magnitudes angulares y lineales quedan relacionadas a través del radio R.

De la tabla anterior podemos deducir fácilmente las magnitudes lineales siguientes:

$$\begin{gathered} s=\phi ·R={\phi }_0·R+{\omega }_0·R·t+\frac{1}{2}·\alpha ·R·t^2\Rightarrow \\ \Rightarrow \boxed{s=s_0+v_0·t+\frac{1}{2}·a_t·t^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} v=\omega ·R={\omega }_0·R+\alpha ·R·t\Rightarrow \\ \Rightarrow \boxed{v=v_0+a_t·t} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a_t=\alpha ·R=\text{constante}·R\Rightarrow \\ \Rightarrow \boxed{a_t=\text{constante}} \end{gathered}$$

Finalmente, recuerda que la aceleración total de un cuerpo puede ser expresada en función de sus componentes intrínsecas, quedando su módulo:

$$a=\sqrt{{a_t}^2+{a_n}^2}$$

Deducción de Ecuaciones del M.C.U.A.

Para obtener las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a.) procedemos de forma similar a como lo hacíamos con el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.), pero considerando magnitudes angulares, en lugar de lineales. Tendremos en cuenta las siguientes propiedades:

• La aceleración angular es constante($\alpha =\text{constante}$)
• Por otro lado esto implica que la aceleración angular media e instantánea del movimiento tienen el mismo valor en todo momento

Se trata, por tanto, de determinar una expresión para la velocidad angular y otra para la posición angular (la aceleración angular ya sabemos que es constante). Con las restricciones anteriores nos queda:

$$\alpha ={\alpha }_m=\frac{∆\omega }{∆t}=\frac{\omega -{\omega }_0}{t}\Rightarrow \omega ={\omega }_0+\alpha ·t$$

Esta primera ecuación relaciona la velocidad angular del cuerpo con su aceleración angular en cualquier instante de tiempo y se trata de una recta (ω) cuya pendiente coincide con la aceleración angular y cuya coordenada y en el origen es la velocidad angular inicial (ω₀). Nos faltaría por obtener una ecuación que nos permita obtener la posición. Para deducirla hay distintos métodos. Nosotros usaremos el teorema de Merton: , ya usado en el m.r.u.a, que nos permite afirmar que el ángulo recorrido en un m.c.u.a. coincide con el correspondiente a un m.c.u. de velocidad angular igual a la media aritmética de las velocidades angulares de los extremos del intervalo de tiempo considerado.

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}{\omega }_m=\frac{\omega +{\omega }_0}{2}\\ ∆\phi =\phi -{\phi }_0={\omega }_m·∆t\end{array}\right\}\begin{array}{c}\Rightarrow \end{array}\phi -{\phi }_0=\frac{\omega +{\omega }_0}{2}·∆t\underset{\left[1\right] y \left[2\right]}{\Rightarrow }\begin{array}{c}\Rightarrow \end{array}\phi -{\phi }_0=\frac{{\omega }_0+\alpha ·t+{\omega }_0}{2}·t\Rightarrow \\ \Rightarrow \phi ={\phi }_0+{\omega }_0·t+\frac{1}{2}·\alpha ·t^2 \end{gathered}$$

Donde hemos aplicado:

$$\begin{array}{c}\left[1\right] \omega ={\omega }_0+\alpha ·t\\ \left[2\right]∆t=t-t_0\underset{t_0=0}{=}t\end{array}$$