Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Podemos clasificar las funciones atendiendo a la relación que guardan entre sí los elementos del dominio, del codominio y de la imagen. En este apartado veremos dicha clasificación, particularizando para el caso de las funciones reales:

• Funciones invectivas
• Funciones sobreyectivas
• Funciones biyectivas

Antes de ir a por ello, es bueno que recuerdes:

• Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto

• En la definición formal de función se da el conjunto inicial, denominado dominio, el conjunto final, denominado codominio, y la regla de correspondencia entre ellos. Por ejemplo, en:

  $$\begin{array}{cccc}f:& \mathrm{\mathbb{N}}& \to & \mathrm{ℝ}\\ & n& \mapsto & y=f\left(n\right)={\mathrm{\pi }}^n\end{array}$$

  El dominio es el conjunto de los números naturales,ℕ , el codominio es el conjunto de los números reales, ℝ ,y la regla de correspondencia es f(n)=πⁿ.

• El conjunto imagen o recorrido de la función es el subconjunto del codominio formado por los valores que realmente toma la función, una vez se aplica a los elementos del conjunto inicial o dominio. En el caso del ejemplo anterior sería el subconjunto de los reales y que se obtienen al aplicar, a cada número natural n, y=πⁿ.

  

  Dominio, codominio y recorrido de una función

  En la función de nuestro ejemplo, el dominio es el conjunto formado por todos los números naturales. Aunque en ocasiones se confunden, observa la diferencia entre el codominio, formado por todos los reales, y el recorrido, un subconjunto de este cuyos valores cumplen la regla de correspondencia.

• En una función real de variable real el dominio y el codominio (y por tanto el recorrido) son subconjuntos de los números reales

Funciones inyectivas

Inyectiva vs no inyectiva

A la izquierda, una función que asocia a cada persona su altura. A cada elemento del recorrido llega una sola flecha, por lo que la función es inyectiva. A la derecha, la función también asocia a cada persona su altura. En este caso el dominio es ligeramente distinto, y cuenta con una persona más que, curiosamente, tiene la misma altura que el oficinista despreocupado de su peso (1.80m). Como a ese elemento del recorrido llegan dos flechas, la función ya no es inyectiva.

Por tanto, si te piden una demostración de que una función no es inyectiva, puedes hallar dos valores distintos del dominio cuyas imágenes sean iguales. Si las encuentras, la función no es inyectiva.

En el caso de funciones reales, para saber si son inyectivas:

• Cuando están dadas mediante una ecuación, podemos utilizar la propia definición. Así, la función f(x)=2·x+1 es inyectiva, pues:

  $$\left.\begin{array}{r}f\left(a\right)=2a+1\\ f\left(b\right)=2b+1\end{array}\right\}\text{Si} f\left(a\right)=f\left(b\right)\Rightarrow 2a+1=2b+1\Rightarrow a=b$$

  Por otro lado, la función f(x)=x² no es inyectiva pues:

  $$\left.\begin{array}{r}f\left(a\right)=a^2\\ f\left(b\right)=b^2\end{array}\right\}\text{Si} f\left(a\right)=f\left(b\right)\Rightarrow a^2=b^2\Rightarrow a=\pm b$$

• Cuando están dadas gráficamente se trata de buscar dos imágenes iguales en la misma. Observa la siguiente ilustración y lo entenderás más claramente:

  

  Gráficas de funciones inyectivas

  A la izquierda, una función real inyectiva, frente a una que no lo es, a la derecha. La prueba para determinar si una función real es inyectiva, a partir de su gráfica, consiste en buscar una recta horizontal que pueda cortar a la gráfica en más de un punto. Si la encuentras, como en el caso de la gráfica derecha, la función no es inyectiva. Si no existe ninguna recta así, como en el caso de la izquierda, la función es inyectiva. En cada gráfica se han utilizado dos rectas de prueba.

Ejemplos

Funciones sobreyectivas

Sobreyectiva vs no sobreyectiva

A la izquierda, una función sobreyectiva. Como tal, el codominio y el recorrido coinciden. O, dicho de manera más gráfica, todos los elementos del codominio reciben flechas. A la derecha, una función no sobreyectiva. En este caso hay elementos del codominio que no están incluidos en el recorrido. Observa, además, que ambas funciones son no inyectivas, pues ambas cuentan con elementos en el recorrido que reciben más de una flecha.

Por tanto, si te piden una demostración de que una función real es sobreyectiva, puedes hallar la imagen de dicha función. Si la imagen es el conjunto de los reales, la función es sobreyectiva. En caso contrario, no.

Ejemplos

Funciones biyectivas

Biyectiva vs no biyectiva

A la izquierda, una función biyectiva. Observa que cada elemento del recorrido recibe una (y solo una) flecha, con lo que el número de elementos del dominio debe coincidir con el número de elementos del recorrido. En la ilustración superior derecha, una función que no es inyectiva, y por tanto tampoco biyectiva. En la ilustración inferior derecha, una función que no es sobreyectiva, y por tanto tampoco biyectiva.

Ejemplos