Función Inversa

Dada una función f(x) que asocia a cada elemento x del dominio su imagen f(x) del recorrido, su función inversa o recíproca f^-1(x), de existir, es aquella que, aplicada sobre los elementos del recorrido de f(x), les asocia su antiimagen en el dominio de la misma.

Concepto de función inversa

Si la función f transforma valores x en valores y según y=f(x), su función inversa f ^-1 realiza el camino inverso, "reconvirtiendo" los valores y en valores x.

En la parte inferior de la ilustración se muestra el proceso de manera concreta. Observa que la función f(x)=2x+1, representada por la máquina azul, convierte el valor 3 en 7. A su vez, $f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$ convierte el valor 7 de vuelta en el valor 3.

En este apartado vamos a profundizar en su estudio a través de los siguientes puntos:

• Definición y propiedades
• Cómo calcularla
• Gráfica

¿Empezamos?

Definición

Lo anterior es una definición formal, y como tal puede resultarte un poco complicada a primera vista. Te recomendamos que, para entenderla bien, te familiarices con el concepto y la definición formal de una función en matemáticas. Mientras tanto quizás te resulte más sencillo identificar una función inversa de otra a partir de las siguientes propiedades:

• $\left(f\circ f^{-1}\right)\left(x\right)=\left(f^{-1}\circ f\right)\left(x\right)=x$

  Es decir, componiendo una función con su inversa el resultado es la función identidad (la función x se denomina identidad). Recuerda que lo anterior es equivalente a $f\left[f^{-1}\left(x\right)\right]=f^{-1}\left[f\left(x\right)\right]=x$. Utilizando esta condición puedes saber si, dadas dos funciones, una es la inversa de la otra.

• Si f(a)=b entonces f^-1(b)=a

  Se trata de la condición que ya habíamos estudiado al comienzo del apartado

Por otro lado, observa que en la propia definición obligamos a que f(x) sea inyectiva. Recuerda que una función se dice que es inyectiva cuando todos los elementos del dominio tienen imágenes distintas. Esto se traduce en que, en la gráfica de una función inyectiva no existen rectas horizontales que la corten en varios puntos. La condición de inyectividad es necesaria para la existencia de la inversa porque, de lo contrario, dado un elemento del recorrido ¿qué elemento debería devolver la función inversa?

Condición para que exista la función inversa

A la izquierda, una función inyectiva. Se caracterizan porque a cada elemento del conjunto recorrido (en azul), llegan flechas de, como máximo, 1 elemento del dominio (en verde). Observa como, dado un elemento del recorrido de f, podemos averiguar su antiimagen, es decir, el elemento del dominio correspondiente, a través de la función inversa.

A la derecha, una función que no cumple la condición de inyectividad, y por tanto no tiene inversa. A los elementos del recorrido de f pueden llegar flechas de varios elementos del dominio. Por tanto, dado un elemento del recorrido, la función inversa no podría saber a qué elemento del dominio corresponde, es decir, cuál es exactamente su antiimagen.

¿Cómo se calcula?

Para calcular la función inversa de una función f(x) dada:

1. Hacemos f(x)=y
2. Intercambiamos x e y
3. Despejamos y en función de x. Esta función obtenida es la inversa de la original

Por ejemplo, volviendo al ejemplo con el que abríamos el apartado:

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccc}f\left(x\right)=2x+1\Rightarrow & \overline{)1} y=2x+1 \\ \overline{)2} x=2y+1 \\ \overline{)3} y=\frac{x-1}{2}& \Rightarrow f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-1}{2}\end{array} \end{gathered}$$

En ocasiones una función no es inyectiva, pero puedes descomponerla en tramos en los que sí sea inyectiva. Cada uno de estos tramos tendrá su función inversa. Por ejemplo, la función f(x)=x² no es inyectiva, como se pone de manifiesto por el hecho de que su gráfica puede ser cortada por rectas horizontales en varios puntos, o bien porque, por ejemplo f(-1) = f(1). Sin embargo, podemos separarla en dos tramos, cada uno de los cuales cuenta con su propia función inversa:

$$f\left(x\right)=x^2=\left\{\begin{array}{ccc}{f}_1\left(x\right)=x^2& \text{si}& x\ge 0\Rightarrow f_1^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x}\\ f_2\left(x\right)=x^2& \text{si}& x<0\Rightarrow f_2^{-1}\left(x\right)=-\sqrt{x}\end{array}\right.$$

Gráficas

La gráfica de una función y su inversa se caracterizan por ser simétricas respecto a la recta y=x.

Gráficas de la función inversa

A la izquierda, la gráfica de una función lineal, en rojo, y su inversa, en verde. A la derecha, la gráfica de la parte positiva de una parábola, en rojo, y su inversa, en verde. En ambas gráficas y en puntos suspensivos hemos representado la recta y=x respecto a la cual se produce la simetría entre las funciones originales y sus respectivas inversas.