Potencias de Exponente Entero

¿Qué son las Potencias?

Las potencias son una forma de abreviar una sucesión de multiplicaciones de un mismo número por sí mismo que se representa como x^y, por ejemplo:

2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴ = 16

Se denomina:

• base. Al número que se multiplica (x) un determinado número de veces. En el ejemplo anterior la base sería el 2.
• exponente. Al número de veces (y) que se multiplica la base. En nuestro caso sería el 4.

Así, podemos sustituir 2 · 2 · 2· 2 por 2⁴  y se leería 2 elevado a 4.

A continuación mostramos algunos ejemplos de como nombraríamos las potencias:

• 5⁷. 5 elevado a 7
• 9². 9 elevado a 2 o también, 9 elevado al cuadrado.
• 5³. 5 elevado a 3 o también, 5 elevado al cubo.
• 4¹. 4 elevado a 1.

Como podemos deducir de los ejemplos anteriores, cuando el exponente es 2 o 3 pueden leerse de una forma especial:

• Si el exponente es el número 2, podemos llamarle cuadrado.
• Si el exponente es el número 3, podemos nombrarlo como cubo.

Llamamos potencias de exponente entero a aquellas potencias en las que el exponente es un número entero, es decir, pueden ser positivos, negativos o el cero y no tienen parte decimal.

Signo de las Potencias

El signo del resultado de una potencia depende de si el exponente es un número par o impar y si la base es positiva (+) o negativa (-). Si realizamos las 4 combinaciones posibles obtenemos la siguiente tabla:

Propiedades de las Potencias de Exponente Entero

A continuación mostramos algunas de las operaciones básicas que se pueden realizar con las potencias.

Potencia con exponente 0

Cualquier número elevado a 0 (excepto el propio 0) es igual a 1 (la unidad)

Ejemplo.

$$5^0= 1$$

Potencia con exponente 1

Cualquier número elevado a la unidad (1) da como resultado  ese mismo número

Ejemplo.

$$5^1= 5$$

Potencias de Potencias

Una potencia elevada a otra potencia es igual a otra potencia que:

• tiene la misma base
• el exponente es el producto de los 2 exponentes.

Ejemplo.

$$(2^3{)}^2 = 2^{3·2}= 2^6 = 64$$

Producto de Potencias con la misma base

El producto de dos potencias que tienen la misma base da como resultado otra potencia que:

• tiene la misma base
• y su exponente es la suma de los exponentes de ambas potencias 

Ejemplo.

$$2^3 · 2^2= 2^{3+2}= 2^5 = 32$$

Producto de Potencias con distinta base y el mismo exponente

El producto de dos potencias que no tienen la misma base aunque si el mismo exponente de como resultado otra potencia cuya:

• base es el producto de las bases de ambas potencias.
• el exponente es el mismo que el de ambas potencias.

Ejemplo.

$$2^2· 3^2 = (2 · 3{)}^2 = 6^2= 36$$

División de Potencias con la misma base

La división de dos potencias con la misma base da como resultado otra potencia que:

• tiene la misma base que las dos anteriores
• y su exponente es la resta de los exponentes de ambas potencias.

Ejemplo.

$$\frac{2^4}{2^2} = 2^{4-2}= 2^2$$$$\frac{1}{2^2} = 2^{-2}$$

División de Potencias con distinta base y el mismo exponente

La división entre dos potencias que no poseen la misma base y sus exponente son iguales, da como resultado otra potencia cuya:

• base es la división de las bases de ambas potencias
• el exponente es el mismo que el de ambas potencias

Ejemplo.

$$\frac{4^3}{2^3}= {\left(\frac{4}{2}\right)}^3= {\left(2\right)}^3 = 8$$

De todo lo visto anteriormente podemos obtener la siguiente tabla resumen: