Propagación de un pulso de onda

Datos

• La función de onda $y=\frac{6}{2+{\left(x-3·t\right)}^2}$  es el único dato aportado en el enunciado.  

Resolución

En primer lugar cabe preguntarnos si se trata realmente de una función de una onda. Hemos visto que la propagación ondas mecánicas se rige por funciones del tipo y=f(x±v·t). Como podemos observar, nuestra función cumple dicho requisito ya que podemos identificar x-v·t con x-3·t, es decir v=3m/s. El signo - indica además que la onda se propaga hacia la derecha, es decir, hacia valores crecientes de x.

Por otro lado, la amplitud del pulso será el valor máximo que pueda tomar y. Al tratarse de una fracción, el valor máximo ocurrirá cuando el denominador sea mínimo, esto es, en x=0 y t=0. Sustituyendo:

$$A={\overline{)y}}_{x=0,t=0}={\overline{)\frac{6}{2+{\left(x-3·t\right)}^2}}}_{x=0,t=0}=3 cm$$

Finalmente, vamos a dibujar el pulso en los instantes pedidos. Para ellos fijaremos t en cada caso e iremos dando valores a x.

Para t=0 s nos queda:

$$y\left(x,0\right)=\frac{6}{2+x^2}$$

Sabemos que se trata de una función racional cuyo máximo está en x=0. Si además damos otros valores adicionales obtenemos la siguiente forma:

Para t=1 s nos queda:

$$y\left(x,1\right)=\frac{6}{2+{\left(x-3·1\right)}^2}=\frac{6}{2+{\left(x-3\right)}^2}$$

Si damos valores esta vez podemos observar que se trata de la misma función anterior pero desplazada 3 unidades hacia la derecha (donde antes ponía x ahora pone x-3). Obtenemos la siguiente forma:

Para t=2 s nos queda:

$$y\left(x,2\right)=\frac{6}{2+{\left(x-3·2\right)}^2}=\frac{6}{2+{\left(x-6\right)}^2}$$

Si damos varios valores cualesquiera a x podemos comprobar que la función anterior es la misma que en el caso de t=0 pero desplazada 6 unidades hacia la derecha. Obtenemos la siguiente forma:

Observa como a medida que avanza el tiempo, el pulso avanza hacia la derecha. Además lo hace de manera constante, en cada segundo recorre el mismo espacio, 3 cm.