Velocidad coche a partir del efecto Doppler

Datos

• Frecuencia emitida por el radar: f = 13 GHz = 13·10⁹ Hz
• Frecuencia recibida por el radar en el primer caso: f' = 13000001565.2  Hz
• Frecuencia recibida por el radar en el segundo caso: f' = 12999998916.6  Hz
• Velocidad ondas en el medio: v = 3·10⁸ m/s

Resolución

La expresión general del efecto Doppler es la siguiente:

$$f\text{'}=f·\frac{v\pm v_R}{v\mp v_f}$$ 

Observa que, aunque realmente es el radar el que emite y el que recibe las ondas, lo que debemos considerar son las ondas reflejadas en el vehículo, que serán las captadas por el radar. Dicho de otro modo, hemos de considerar el vehículo como fuente de ondas (las ondas reflejadas) y el radar jugará el papel único de receptor.

En el primer caso el vehículo, el "emisor", se acerca al radar, por lo que la frecuencia recibida f' aumentará (como de hecho sabemos que ocurre). Por ello debemos usar un - en el denominador. Así, la expresión general nos queda:

$$f\text{'}=f·\frac{v\pm v_R}{v\mp v_f}\Rightarrow f\text{'}=f·\frac{v}{v-v_f}\Rightarrow f\text{'}·v-f\text{'}·v_f=f·v\Rightarrow v_f=v\frac{f\text{'}-f}{f\text{'}}$$

Y sustituyendo datos nos queda...

$$v_f=v·\left(\frac{f\text{'}-f}{f\text{'}}\right)=3·{10}^8·\frac{13000001565.2-13·{10}^9}{13000001565.2}=36.11 m/s =\hspace{0.17em}129.9km/h$$

Con lo que, si el límite fuese de 120 km/h sería muy posible que el radar informase de la infracción.

En el segundo caso el "emisor" se aleja del radar por lo que, como podemos ver por los datos que nos da el enunciado, la frecuencia recibida f' disminuirá. Esto implica el uso del signo + en el denominador. Haciendo un desarrollo similar al anterior nos queda:

$$f\text{'}=f·\frac{v\pm v_R}{v\mp v_f}\Rightarrow f\text{'}=f·\frac{v}{v+v_f}\Rightarrow f\text{'}·v+f\text{'}·v_f=f·v\Rightarrow v_f=v\frac{f-f\text{'}}{f\text{'}}$$ 

Y si sustituimos los datos del problema:

$$v_f=v·\left(\frac{f-f\text{'}}{f\text{'}}\right)=3·{10}^8·\frac{13·{10}^9-12999998916.6}{12999998916.6}=25 m/s =\hspace{0.17em}90 km/h$$