Intensidad y amplitud según distancia al foco

Datos

• Potencia del foco: P=40W
• Distancia inicial considerada: r_i = 200cm = 2 m
• Amplitud inicial de la onda: A_i = 3cm = 3·10^-2 m
• Distancia final considerada: r_f = 3 m

Resolución

La intensidad de una onda a una determinada distancia r de su foco puede expresarse según:

$$I=\frac{P}{S}$$ 

La potencia P es la potencia de la onda, que viene dada por la potencia de su foco. La superficie S será la superficie del frente de ondas que estemos considerando. Dicha superficie será una esfera por lo que podemos escribir:

$$S=4·\pi ·r^2$$

Así, la distancia en el punto inicial considerado será:

$$I_{\mathrm{i}}=\frac{P}{S_i}=\frac{40}{4·\pi ·r_i^2}=\frac{40}{4·\pi ·2^2}=0.79W/m^2$$

En el caso de la distancia final considerada, podemos escribir:

$$I_f=\frac{P}{S_f}=\frac{40}{4·\pi ·r_f^2}=\frac{40}{4·\pi ·3^2}=0.35W/m^2$$

Observa que, dado que la potencia de la onda es la potencia del foco y esta permanece constante a 40W, podemos encontrar la siguiente relación entre las intensidades:

$$\frac{I_i}{I_f}=\frac{{\displaystyle \frac{P}{4·\pi ·r_i^2}}}{{\displaystyle \frac{P}{4·\pi ·r_f^2}}}=\frac{r_f^2}{r_i^2}\Rightarrow I_f=I_i·\frac{r_i^2}{r_f^2}=0.79·\frac{2^2}{3^2}=0.35W/m^2$$

Por otro lado, sabemos que la intensidad de la onda en un punto es proporcional al cuadrado de la amplitud (también de la frecuencia) de la onda en dicho punto, por lo que podemos escribir:

$$\frac{I_1}{I_2}=\frac{cte·f^2·{A_1}^2}{cte·f^2·{A_2}^2}\Rightarrow \frac{0.79}{0.35}=\frac{{\left(3·{10}^{-2}\right)}^2}{{A_2}^2}\Rightarrow A_2=\sqrt{\frac{9·{10}^{-4}}{2.25}}=0.02m=2cm$$