Potencia del foco de una onda

Datos

• Ecuación de onda armónica: $y\left(x,t\right)=10·\cos \left(\pi ·\left(2·x-90·t\right)\right) cm$ 
• Peso de la cuerda: P=7N
• Longitud de la cuerda: ∆x=9m

Consideraciones previas

Para poder determinar la potencia, en vatios, hemos de usar unidades del Sistema Internacional. La función de onda nos la dan en cm. Es importante que tengamos esto muy presente para convertir las unidades de aquellas magnitudes que sean necesarias.

Resolución

En primer lugar, sabemos que la potencia del oscilador armónico se define como la energía que suministra por unidad de tiempo, es decir:

$$P=\frac{E}{t}$$

También sabemos que la energía del oscilador viene dada por:

$$E=\frac{1}{2}·m·{\omega }^2·A^2$$

Ahora bien, observa que si sustituimos en la fórmula inicial de la potencia nos quedaría una variable, t, de la que no conocemos su valor. Sin embargo podemos hacer algunas transformaciones que nos simplificarán los cálculos:

$$P=\frac{E}{t}=\frac{\frac{1}{2}·m·{\omega }^2·A^2}{t}=\frac{\frac{1}{2}·\mu ·∆x·{\omega }^2·A^2}{t}\underset{\left[1\right]}{=}\frac{1}{2}·\mu ·v·{\omega }^2·A^2$$

Donde hemos aplicado:

$$\left[1\right] v=\frac{∆x}{t}$$

Ahora nos resta el cálculo de μ, ω, v y A. El valor de μ, la densidad lineal de masa, se calcula dividiendo la masa total de la cuerda entre su longitud, es decir:

$$P=m·g\Rightarrow m=\frac{P}{g}=\frac{7}{9.8}=0.71 kg; \mu =\frac{m}{∆x}=\frac{0.71}{9}=0.078 kg/m$$

Donde con P estamos refiriéndonos esta vez el peso de la cuerda.

Por otro lado, el valor de la velocidad de propagación podemos determinarlo sabiendo que la onda recorre una distancia igual a la longitud de onda λ en un tiempo igual a su periodo T, es decir v=λ/T. Para conocer λ debemos conocer previamente, por ejemplo, el número de onda k, con el que se relaciona según k=2·π/λ. Sabemos que k es el factor que acompaña a x en la ecuación de la onda, es decir, k=2·π cm^-1. Ahora, observa que, dado que la ecuación de la onda está en cm, la constante k está en cm^-1. Debemos pasarla a unidades del Sistema Internacional (m^-1):

$$k=2·\pi c{m}^{-1}\Rightarrow 2·\mathrm{\pi }·{10}^2 {\mathrm{m}}^{-1}=200·\mathrm{\pi } {\mathrm{m}}^{-1}$$

Ya estamos en disposición de determinar la longitud de onda:

$$k=\frac{2·\pi }{\lambda }\Rightarrow \lambda =\frac{2·\pi }{k}=\frac{2·\cancel{\pi }}{200·\cancel{\mathrm{\pi }}}=\frac{1}{100}m$$

Para determinar el periodo, procedemos de la siguiente manera, sabiendo que la frecuencia angular ω es el factor que acompaña a t:

$$f=\frac{1}{T}\Rightarrow T=\frac{1}{f}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{\omega }{2·\pi }}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{90·\cancel{\pi }}{2·\cancel{\pi }}}}=\frac{1}{45}=0.022\hspace{0.17em}s$$

Ya estamos en disposición de calcular la velocidad de propagación:

$$v=\frac{\lambda }{T}=\frac{1/100}{1/45}=0.45 m/s$$

Finalmente, la amplitud de la onda es el factor que acompaña al coseno, convirtiendo sus unidades al Sistema Internacional:

$$A=10cm=0.1m$$

Con todos los parámetros calculados estamos en disposición de determinar la potencia de la onda que será la del foco asociado a la misma:

$$P=\frac{1}{2}·\mu ·v·{\omega }^2·A^2=\frac{1}{2}·0.078·0.45·{\left(90·\pi \right)}^2·{\left(0.1\right)}^2=14.03W$$