Ecuación de onda a partir de densidad lineal y otras magnitudes

Datos

• Densidad lineal: μ=35g/m=0.035kg/m
• Tensión de la cuerda: T=5N
• Frecuencia del oscilador: f=12Hz
• Ampllitud del oscilador: A=4cm=4·10^-2m
• y(0,0)=A=4·10^-2m

Resolución

Supondremos que la onda se propaga hacia la derecha. Sabemos que la ecuación general de una onda que se propaga hacia la derecha puede ser escrita, en una de sus múltiples formas, según:

$$y\left(x,t\right)=A·\sin \left(\omega ·t-k·x+{\phi }_0\right)$$

Dado que conocemos A, se trata ahora de calcular ω, k y φ₀. Por un lado, a partir de la frecuencia f podemos determinar ω según:

$$\omega =2·\pi ·f=24·\pi rad/s$$

Por otro lado, la longitud de onda λ y el número de onda k se relacionan según k=2·π/λ. Podemos obtener la velocidad de propagación de la onda a partir de la densidad lineal y la tensión de la cuerda:

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}=\sqrt{\frac{5}{40·{10}^{-3}}}=11.18 m/s$$

Y podemos relacionar la velocidad de propagación con la longitud de onda y la frecuencia según:

$$v=\lambda ·f\Rightarrow \lambda =\frac{v}{f}=\frac{\mathrm{11.18}}{12}=0.93 m$$

Una vez obtenido λ ya estamos en disposición de calcular k:

$$k=\frac{2·\pi }{\lambda }=\frac{2·\pi }{0.93}=6.75 rad/m$$

Finalmente, para determinar φ₀ procederemos teniendo en cuenta que y(0,0)=A, es decir:

$$y\left(0,0\right)=A=A·\sin \left(\omega ·0-k·0+{\phi }_0\right)\Rightarrow 1=sin\left({\phi }_0\right)\Rightarrow {\phi }_0=\frac{\pi }{2}$$

Con lo que podemos escribir la ecuación de la onda armónica pedida:

$$\begin{gathered} y\left(x,t\right)=0.04·\sin \left(24·\pi ·t-6.75·x+\frac{\pi }{2}\right) m\underset{\left[1\right]}{=}0.04·\cos \left(24·\pi ·t-6.75·x\right)m \\ \left[1\right] \sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\alpha \right) \end{gathered}$$