Vector director a partir de la pendiente de una recta

Para resolver este ejercicio cumpliremos los siguientes pasos:

1. En primer lugar vamos a calcular la ecuación punto-pendiente de la recta.
2. Con dicha ecuación, vamos a determinar otro punto B cualquiera que pertenezca a la recta.
3. Con el punto (1,1) y el punto B calculado en el paso anterior podremos calcular un vector. Dicho vector determina la dirección de la recta por tanto será un vector director de la misma.

Vamos a ello:

1) Aplicaremos la ecuación punto-pendiente:

$$y-1=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.·\left(x-1\right)$$

2) Si por ejemplo tomamos x=4, obtenemos que:

$$\begin{gathered} y-1=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.·\left(4-1\right) \Rightarrow \\ y-1=1\Rightarrow \\ \underline{y=2} \end{gathered}$$

Por tanto, los puntos A(1,1) y B(4,2) pertenecen a la recta.

3) Calcularemos un vector $\overrightarrow{AB}$  con ambos puntos:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=\left(b_1-a_1,b_2-a_2\right) \Rightarrow \\ \overrightarrow{AB}=\left(4-1,2-1\right) \Rightarrow \\ \boxed{\overrightarrow{AB}=\left(3,1\right)} \end{gathered}$$