Refracción en lámina de caras planas y paralelas

Datos

El ejercicio se nos plantea a partir de la imagen, en la que se nos proporciona un ángulo de incidencia genérico $\hat{i}$ , índices de refracción n₁ en el exterior y n₂ en el interior y un espesor de lámina e.

Resolución

Cuando el rayo penetra en la lámina se produce una refracción, y cuando el rayo sale de la lámina se produce otra. En la siguiente figura representamos un esquema de la situación:

 

Observa que hemos marcado los puntos de entrada y salida como 1 y 2. Por otro lado, observa que el ángulo del rayo refractado en 1 ( $\hat{r}$ ) es igual al ángulo del rayo incidente en 2. Esto ocurre por que las caras de la superficie son paralelas. Planteando las leyes de Snell en 1 y 2 tenemos:

$$\left.\begin{array}{r}\overline{)1} n_1·\sin \left(\hat{i}\right)=n_2·\sin \left(\hat{r}\right)\\ \overline{)2} n_2·\sin \left(\hat{r}\right)=n_1·\sin \left(\hat{r}\text{'}\right)\end{array}\right\}{n}_1·\sin \left(\hat{i}\right)=n_1\sin \left(\hat{r}\text{'}\right)\iff \boxed{\hat{i}=\hat{r}\text{'}}$$

Por tanto, el ángulo de salida es el mismo que tenía el rayo al entrar. Observa en la figura superior la distancia h , que representa la posición de salida del rayo respecto a la posición de entrada. Para determinarla nos fijamos en el triángulo rectángulo formado, y recordamos la definición de tangénte de un ángulo como cateto opuesto partido cateto continúo. Así tenemos:

$$\tan \left(\hat{r}\right)=\frac{h}{e}\Rightarrow h=e·tan\left(\hat{r}\right) \underset{\overline{)1}}{\Rightarrow }\boxed{h=e·\tan \left(arcsen\left(\frac{n_1}{n_2}·\sin \left(\hat{i}\right)\right)\right)}$$

Expresión que nos permite calcular la posición de salida en función de la de entrada y del ángulo de incidencia del rayo. En ocasiones esta posición se expresa de manera genérica como un desplazamiento d respecto al rayo de entrada, tal y como se observa en la siguiente figura:

 

En este caso, para calcular d podemos proceder teniendo en cuenta que $\hat{i}=\alpha +\hat{r}$ , con lo que podemos escribir:

$$\left.\begin{array}{r}\sin \left(\alpha \right)=\frac{d}{\left|\overrightarrow{12}\right|}\\ \cos \left(\hat{r}\right)=\frac{e}{\left|\overrightarrow{12}\right|}\end{array}\right\}\boxed{d=e·\frac{\sin \left(\hat{i}-\hat{r}\right)}{\cos \left(\hat{r}\right)}}$$

Donde hemos llamado $\left|\overrightarrow{12}\right|$  a la distancia que recorre el rayo en el interior de la lámina, es decir, la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos considerados en las relaciones.