Interpretación gráfica avanzada de la derivada

Consideraciones previas

La base para la interpretación de la gráfica en este ejercicio, es recordar que la derivada f'(x) de una función f(x) en un punto, es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Si la resolución de este ejercicio te resulta complicada, visita este ejercicio básico sobre el tema.

Resolución

Sabiendo que la siguiente gráfica corresponde a la derivada de f(x), f'(x), entonces,¿cuánto vale la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=0?

Para calcular el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=0 miramos la gráfica y nos damos cuenta que para x=0, y=3, por lo tanto el valor de la pendiente de la recta tangente será 3.

Y si la gráfica correspondiese directamente a f(x), ¿cuál será el valor de f'(3)?

Siendo la gráfica dada f(x),calculamos el valor de f'(3). Para ello hay que fijarse en el punto de la gráfica en x=3. Lo situamos y nos damos cuenta que por la gráfica en ese punto la línea tangente es horizontal(es decir de pendiente 0). Por tanto f'(3)=0.

¿Cuáles serán los puntos de derivada nula?

Para identificar los puntos de derivada nula (puntos donde la derivada vale 0) tenemos que buscar aquellos puntos en los que la recta tangente a la función sea horizontal (pendiente 0). Esto se cumple en el punto f(-3), pero también en aquellos valores de x mayores que 1, por tanto:

$$\text{Si} x=3, x>1 \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0$$

¿Cuál es el valor de x si f(x)=-1?

Esta cuestión no tiene relación con la derivada. Buscamos el valor para el que f(x) vale -1. Este punto corresponde a x=-3.