Cálculo de la recta tangente y normal a curva

Consideraciones previas

Tal como hemos estudiado, la ecuación de la recta tangente a una función en un punto (a, f(a)) viene dada por la expresión:

$$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)·\left(x-a\right)$$

Por otro lado, la exprsión de la recta normal (que forma 90º con la tangente) es:

$$y-f\left(a\right)=-\frac{1}{f\text{'}\left(a\right)}·\left(x-a\right)$$

Como puedes observar, el valor de a nos lo dan (es la coordenada x del punto considerado). Debemos obtener f(a) (el valor de la función en el punto, es decir, su coordenada y) y el valor de la derivada en el punto f'(a). Recuerda siempre la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto es el valor de su derivada en dicho punto.

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{x+2}}$$

En este caso, a=2 => f(2)=2. Obtenemos la derivada f'(x) derivando con normalidad:

$$f\left(x\right)=\sqrt{x+2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$$

El valor de la derivada en el punto es f'(2)=1/4. Con esto nos queda la ecuación de la recta tangente:

$$y-2=\frac{1}{4}\left(x-2\right)\Rightarrow y=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}x+\frac{3}{2}$$

Observa que hemos desarrollado la ecuación propuesta de recta tangent para obtener la ecuación en forma y=mx+n. En negrita hemos señalado la pendiente m de dicha recta (que es justamente 1/4, el valor de la derivada en el punto). En cuanto a la ecuación de la recta normal:

$$y-2=-\frac{1}{1/4}\left(x-2\right)\Rightarrow y=\mathbf{-}\mathbf{4}x+10$$

En este caso la pendiente es -4. Observa que -4·(1/4)=-1. Todas las rectas perpendiculares cumplen que el producto de sus pendientes es -1.

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)={\left(3-x\right)}^2}$$

En este caso, a=-2 => f(-2)=25. Obtenemos la derivada f'(x) derivando con normalidad:

$$f\left(x\right)={\left(3-x\right)}^2\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2·\left(3-x\right)·\left(-1\right)=2·\left(x-3\right)$$

La derivada en el punto es f'(-2)=-10. Con esto nos queda la ecuación de la recta tangente:

$$y-25=\mathbf{-}\mathbf{10}\left(x+2\right)$$

Puedes observar que el valor de la pendiente de la recta tangente es justamente -10. Por otro lado, la recta normal:

$$y-25=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}\left(x+2\right)$$

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x-2}{e^x}}$$

Debemos comenzar calculando la segunda derivada, y obteniendo el punto en el cual se anula:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{x-2}{e^x}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{e^x-e^x\left(x-2\right)}{e^{2x}}=\frac{3-x}{e^x}\Rightarrow \\ \Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-e^x-e^x\left(3-x\right)}{e^{2x}}=\frac{-4+x}{e^x} \end{gathered}$$

La segunda derivada se anula, por tanto, en:

$$-4+x=0\Rightarrow \boxed{x=4}$$

Tenemos:

$$a=4 ;\hspace{0.17em}f\left(4\right)=\frac{2}{e^4} ;\hspace{0.17em}f\text{'}\left(4\right)=\frac{-1}{e^4}$$

Con esto nos queda la ecuación de la recta tangente:

$$y-\frac{2}{e^4}=\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{{\mathbf{e}}^{\mathbf{4}}}\left(x-4\right)$$

Y la ecuación de la recta normal:

$$y-\frac{2}{e^4}={\mathit{e}}^{\mathbf{4}}\left(x-4\right)$$

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(x-3\right)}$$

Observa, siendo a=3, ∄ f(3), por lo que podemos decir que no existe la recta tangente a la función en el punto considerado (tampoco la normal).

5.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt[5]{x-3}}$$

En este caso a=3, con lo que f(3)=0. Vamos con el cálculo de la derivada:

$$f\left(x\right)=\sqrt[5]{x-3}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{5\sqrt[5]{{\left(x-3\right)}^4}}$$

Ahora observa:

$$f\text{'}\left(3\right)=\frac{1}{5\sqrt[5]{{\left(3-3\right)}^4}}\Rightarrow f\text{'}\left(3\right)=\frac{1}{0} \nexists$$

Como ves, en este caso es la derivada la que no está definida en el punto considera, con lo que no existe la recta tangente ni la normal en el punto considerado.

6.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(\tan \left(4x\right)\right)}$$

Sabemos que a=π/16, calculemos...

$$f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{16}\right)=\ln \left(\tan \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{16}\right)\right)=\ln \left(1\right)=0$$

La derivada:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\tan \left(4x\right)}\frac{1}{{\cos }^2\left(4x\right)}·4\Rightarrow f\text{'}\left(\mathrm{\pi }/16\right)=\frac{1}{\tan \left({\displaystyle \frac{4\mathrm{\pi }}{16}}\right)}\frac{1}{{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{4\mathrm{\pi }}{16}}\right)}·4=\frac{4}{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^2}=8$$

Para obtener la derivada anterior, recuerda que:

$$\left(\tan \left(\text{algo}\right)\right)\text{'}=\frac{1}{{\cos }^2\left(\text{algo}\right)}\text{algo'}$$

Si no recuerdas dicha fórmula, puedes derivar asumiendo que la tangente se define como el seno entre el coseno, y aplicando la derivada de un cociente de funciones.

Con lo que la ecuación de la recta tangente queda:

$$y=\mathbf{8}\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{16}\right)$$

Y la normal...

$$y=\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{8}}\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{16}\right)$$

Observa que, a pesar de que esta función f(x) engloba funciones trigonométricas, al final la recta tangente y la normal tienen siempre la forma y=mx+n.