Derivadas avanzadas

Consideraciones previas

Utilizaremos la tabla de derivadas vistas en teoría. También las derivadas de operaciones con funciones, sobre todo para el caso de la multiplicación y división de funciones, pero también para la suma y la resta. Recuerda que:

$$\begin{gathered} D\left(u·v\right)=u\text{'}v+u·v\text{'} \\ D\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2} \end{gathered}$$

No olvides tampoco aplicar adecuadamente la regla de la cadena, estudiada en el apartado asociado. Hemos usado una notación con colores para facilitar la identificación de las funciones integrantes y sus derivadas en dicha regla.

Por otro lado, a lo largo del ejercicio usaremos distintas notaciones para referirnos la derivada de una función... Por ejemplo: (algo)' o D(algo)... ¡familiarízate con todas ellas!

Finalmente,

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)={\left(x^2+4x\right)}^3·\ln \left(\frac{x+2}{x}\right)}$$

Se trata de la derivada de un producto, con lo que debemos obtener las derivadas de las funciones integrantes por separado:

$$\begin{array}{c}\left({\left(x^2+4x\right)}^3\right)\text{'}=3{\left(x^2+4x\right)}^2·\left(2x+4\right) \\ \left(\ln \left(\frac{x+2}{x}\right)\right)\text{'}=\frac{1}{\frac{x+2}{x}}·\frac{x-\left(x+2\right)}{x^2}=\frac{2}{x\left(x+2\right)}\end{array}$$

Observa que hemos aplicado la regla de la cadena cuando ha sido necesario, señalando la función que actúa en último lugar en color azul o verde oscuro, y sus respectivas derivadas en azul o verde más claro. Con todo esto, aplicando la regla del producto (derivada de la primera por la segunda sin derivar, más derivada de la segunda por la primera sin derivar), nos queda:

$$f\text{'}\left(x\right)=3{\left(x^2+4x\right)}^2\left(2x+4\right)\ln \left(\frac{x+2}{x}\right)+\frac{2}{x\left(x+2\right)}{\left(x^2+4x\right)}^3$$

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{\frac{\cos \left(x\right)}{1-x}}\right)}$$

Podemos empezar derivando las funciones componentes:

$$\begin{array}{c}D\left(\frac{cos\left(x\right)}{1-x}\right)=\frac{-sin\left(x\right)\left(1-x\right)-\left(-1\right)cos\left(x\right)}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\left(1-x\right)}{{\left(1-x\right)}^2}\\ D\left(\sqrt{\frac{cos\left(x\right)}{1-x}}\right)=D\left({\left(\frac{cos\left(x\right)}{1-x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}{\left(\frac{cos\left(x\right)}{1-x}\right)}^{-\frac{1}{2}}·\frac{cos\left(x\right)-sin\left(x\right)\left(1-x\right)}{{\left(1-x\right)}^2}\end{array}$$

Esta última función podemos reescribirla como:

$$\frac{1}{2}{\left(\frac{\cos \left(x\right)}{1-x}\right)}^{-\frac{1}{2}}·\frac{\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\left(1-x\right)}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-x}{\cos \left(x\right)}}\frac{\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\left(1-x\right)}{{\left(1-x\right)}^2}$$

Con lo que podemos escribir la derivada de la función final como:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\frac{cos\left(x\right)}{1-x}}}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-x}{cos\left(x\right)}}\frac{cos\left(x\right)-sin\left(x\right)\left(1-x\right)}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\left(1-x\right)}^2}{{\cos }^2\left(x\right)}}\frac{\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\left(1-x\right)}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{1}{2}\frac{\cancel{{\left(1-x\right)}^2}}{{\cos }^2\left(x\right)}\frac{\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\left(1-x\right)}{\cancel{{\left(1-x\right)}^2}}=\frac{\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\left(1-x\right)}{2{\cos }^2\left(x\right)}$$

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)={\log }_2\left(\sin \left(\cos \left(\mathrm{arc} \cos \left(x\right)\right)\right)\right)}$$

Sigamos el mismo procedimiento que hasta ahora, derivando las funciones componentes, en el mismo orden en el que actúan (que es el inverso al que aparecen):

$$\begin{array}{c}\left(arc cos\left(x\right)\right)\text{'}=\frac{1}{1+co{s}^2\left(x\right)}·\left(-sin\left(x\right)\right)\\ \left(\cos \left(arc cos\left(x\right)\right)\right)\text{'}=-\sin \left(arc cos\left(x\right)\right)·\frac{-sin\left(x\right)}{1+co{s}^2\left(x\right)}\\ \left(\sin \left(cos\left(arc cos\left(x\right)\right)\right)\right)\text{'}=\cos \left(cos\left(arc cos\left(x\right)\right)\right)sin\left(arc cos\left(x\right)\right)·\frac{sin\left(x\right)}{1+co{s}^2\left(x\right)}\end{array}$$

Con lo que finalmente podemos escribir...

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{{\log }_a\left(e\right)}{sin\left(cos\left(arc cos\left(x\right)\right)\right)}·cos\left(cos\left(arc cos\left(x\right)\right)\right)sin\left(arc cos\left(x\right)\right)·\frac{sin\left(x\right)}{1+co{s}^2\left(x\right)}$$

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{2x-3}{\sin \left(2x\right)}}$$

Derivamos el cociente, pero previamente derivamos las funciones componentes:

$$D\left(2x-3\right)=2; D\left(\sin \left(2x\right)\right)=\cos \left(2x\right)·2$$

Aplicando la regla para derivar cocientes de funciones, nos queda:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2·\sin \left(2x\right)-\left(2\cos \left(2x\right)·\left(2x-3\right)\right)}{{\sin }^2\left(2x\right)}$$