Máximos y mínimos en funciones

Consideraciones previas

Tal y como venimos haciendo en los ejercicios de este apartado, vamos a seguir la regla práctica expuesta en la teoría asociada dedicada al cálculo de máximos y mínimos.

1. El cálculo del dominio, que dependerá en cada caso del tipo de función que tengamos
2. Obtenemos los puntos singulares de la función, esto es, obtenemos la derivada de f(x), la igualamos a 0 y despejamos
3. Los puntos críticos de la función (aquellos en los que la función puede cambiar su crecimiento) serán los singulares y los que hemos quitado del dominio. Estos puntos dividen la recta real en varios intervalos. Estudiamos el signo de la primera derivada en cada uno de ellos a través de un cuadro de signos
4. En los intervalos en que la primera derivada es positiva, la función original es creciente. En los que es negativa la función original es decreciente.
5. En los puntos críticos en los que haya un cambio de tendencia (de crecimiento a decrecimiento o viceversa) habrá extremos relativos (máximos o mínimos)

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=e^x\left(x^2-4x\right)}$$

Se trata de una función exponencial y un polinomio. El dominio de e^x es el conjunto de los reales positivos, y el del polinomio el conjunto de los reales. Como intersección de ambos nos quda:

$$Dom\left(f\right)=\left(0, \infty \right)$$

Calculamos la primera derivada y la igualamos a 0 para buscar los puntos singulares:

$$f\text{'}\left(x\right)=e^x\left(x^2-4x\right)+e^x\left(2x-4\right)=e^x\left(x^2-2x-4\right);\hspace{0.17em}f\text{'}\left(x\right)=0$$

El factor e^x es siempre mayor que 0. En cuanto al polinomio:

$$x^2-2x-4=0\Rightarrow x=\frac{2\pm \sqrt{4-4\left(1\right)\left(-4\right)}}{2·1}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=3.23\\ x_2=-1.23\end{array}\right.$$

Construyendo la tabla de signos de la primera derivada...

$$\begin{array}{cccc}& \left(-\infty , -1.23\right)& \left(-1.23, 3.23\right)& \left(3.23, \infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& +& -& +\end{array}$$

...Observamos que:

• Intervalos de crecimiento: (-∞, -1.23) y (3.23, ∞)
• Intervalos de decrecimiento (-1.23, 3.23)
• Máximo en abscisa x=-1.23
• Mínimo en abscisa x=3.23

Recuerda que para saber el signo de la derivada en cada intervalo sustituimos la x de la expresión de la derivada por un valor cualquiera de dicho intervalo, por ejemplo, en el intervalo (-1.23, 3.23) tenemos f'(0)=1·(-4)<0 .

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(x\right)}$$

El dominio de la función es el conjunto de los reales mayores que cero, es decir Dom(f)=(0,∞).

Si calculamos la primera derivada, nos damos cuenta que no existen puntos singulares:

$$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x} ;\hspace{0.17em}\nexists x| \frac{1}{x}=0$$

Por tanto, no existen máximos ni mínimos, y la función presenta en todo su dominio la misma monotonía (o creciente o decreciente). Para comprobar si la función es creciente o decreciente observamos que 1/x>0 para cualquier x>0 (el dominio), con lo que la función es siempre creciente.

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)}$$

El dominio es el mismo que en la función del punto anterior, ya que al multiplicar por x, cuyo dominio ℜ es no se produce ninguna restricción.

$$Dom\left(f\right)=\left(0,\infty \right)$$

El cambio se produce al obtener la derivada, ahora nos queda:

$$f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1\Rightarrow 0=\ln \left(x\right)+1\Rightarrow \ln \left(x\right)=-1\Rightarrow e^{-1}=x\Rightarrow x=\frac{1}{e}=0.36$$

El cuadro de signos de la primra derivada...

$$\begin{array}{ccc}& \left(-\infty ,1/e\right)& \left(1/e, \infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& -& +\end{array}$$

Con lo que:

• La función es decreciente en el intervalo (-∞, 1/e)
• La función es creciente en (1/e, ∞)
• En x=1/e existe un mínimo

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)}$$

En este caso estamos restringiendo el estudio a [0,2π). Esta restricción es debido a que la función trigonométrica es periódica, y debemos restringir el estudio a un período concreto. El dominio estudiado es precisamente:

$$Do{m}_1\left(f\right)=[0,2\mathrm{\pi })$$

Ahora se trata de calcular la primera derivada e igualarla a cero:

$$f\text{'}\left(x\right)=\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\Rightarrow \sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)=0\Rightarrow \sin \left(x\right)=\cos \left(x\right)$$

Para resolver dicha ecuación debemos tener presente que:

$$\begin{array}{c}\sin \left(x\right)=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)\\ \cos \left(x\right)=\cos \left(y\right)\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+2k\mathrm{\pi }\\ x=-y+2k\mathrm{\pi }\end{array}\text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right.\end{array}$$

Así que nos queda:

$$\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)=\cos \left(x\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x+2k\mathrm{\pi }\\ x=-\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)+2k\mathrm{\pi }\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }\\ \xcancel{\mathrm{x}-\mathrm{x}=2\mathrm{k\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\end{array}\right.\right.\Rightarrow x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }$$

Si nos restringimos a aquellos valores enteros de k que cumplen que x∈[0, 2π) nos queda:

$$x_1=\frac{\mathrm{\pi }}{4};\hspace{0.17em}{x}_2=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{\pi }=\frac{5\mathrm{\pi }}{4}$$

Estudiamos el signo de la primera derivada en los intervalos que nos quedan:

$$\begin{array}{cccc}& \left(0,\mathrm{\pi }/4\right)& \left(\mathrm{\pi }/4, 5\mathrm{\pi }/4\right)& \left(5\mathrm{\pi }/4, 2\mathrm{\pi }\right)\\ \text{signo} f\text{'}& +& -& +\end{array}$$

Con lo que:

• La función es creciente en los intervalos (0, π/4) y (5π/4, 2π)
• La función es creciente en (π/4, 5π/4)
• En x=π/4 existe un máximo
• En x=5π/4 existe un mínimo