驴Enunciados verdaderos del teorema de los valores intermedios?
Enunciado
De una funci贸n f(x) se conoce que:
- es continua en el intervalo [-2,4]
- f(-2)=8
- f(4)=1
Marca las respuestas que sean correctas:
- La funci贸n toma todos los valores entre 1 y 8
- Existe al menos un valor c en el intervalo [-2, 4], tal que f(c)=4
- La funci贸n no tiene ninguna ra铆z en el intervalo
- El valor m谩ximo que toma la funci贸n es f(x)=8 y el m铆nimo es f(x)=1
- Todos los valores que puede tomar la funci贸n se encuentran comprendidos en el intervalo [1, 8]
Soluci贸n
Consideraciones previas
El teorma de Darboux o de los valores intermedios nos servir谩 para saber si los enunciados son verdaderos o falsos. Recuerda que este establece que si una funcion y=f(x) es continua en el intervalo [a, b], entonces toma todos los valores entre f(a) y f(b).
Resoluci贸n
La afirmaci贸n (1) que dice que la funci贸n toma todos los valores entre y=1 e y=8 es claramente verdadera, pues es justamente lo que establece el teorema a partir de las caracter铆sticas de la funci贸n establecidas en el enunciado.
Sin embargo, la funci贸n puede tambi茅n tomar otros valores, es decir, no todos los valores de la funci贸n tienen porque estar entre los valores de los extremos del intervalo, y=1 e y=8. Por ello la afirmaci贸n (5) que dice que聽todos聽los valores de la funci贸n est谩n entre y=1 e y=8 es聽falsa.
La afirmaci贸n (2) que dice que existe x=c tal que f(c)=4 es verdadera聽porque聽4鈭圼1, 8].
Por otro lado, la afirmaci贸n (3) que dice que la funci贸n no tiene ra铆ces es falsa. Que tome todos los valores entre y=1 e y=8 no significa que no pueda tomar el valor de y=0. Con la informaci贸n proporcionada, no podemos saberlo.
Que tome todos los valores entre f(-2)=8聽 y f(4)=1 no significa que esos sean los valores m谩ximos y m铆nimos y por lo tanto dicho enunciado (4) es聽falso.
No hemos encontrado ninguna f贸rmula destacable en este ejercicio.