Resolución por energía cinética VS m.r.u.a.

Enunciado

dificultad

Calcula la velocidad final de una canica que cae desde una altura de 30 m:

Calculando previamente el trabajo realizado por la fuerza total que actúa sobre él
Por cinemática, mediante la expresión del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.)

Solución

Datos

h = 30 m

Consideraciones previas

La fuerza total que actúa sobre la canica y que es responsable de que varíe la energía cinética de la misma es el peso. Podemos considerar que la fuerza peso es constante a lo largo del recorrido y de igual sentido que el vector desplazamiento
Dado que estamos en un movimiento rectilíneo, el módulo vector desplazamiento $∆ \vec{r}$ y el espacio recorrido $∆ s$ coinciden. El espacio recorrido por la canica en su trayectoria es justamente la altura a la que se encuentra. $∆ s = h = 30 m$
Desde el punto de vista de la cinemática nos encontramos en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a) en el que a = g = 9.81 m/s²

Resolución

1.- Según el teorema de la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza total que actúa sobre un cuerpo se invierte integramente en variar su energía cinética. La fuerza total que actúa sobre la canica es la fuerza peso. Calculamos el trabajo realizado por dicha fuerza.

$W = \vec{F} \cdot ∆ \vec{r} = F \cdot ∆ s \cdot \cos (0) = m \cdot g \cdot h;$

Dado que el cuerpo parte del reposo, su energía cinética inicial es 0. Aplicando el teorema de la energía cinética nos queda:

$W = ∆ E_{c} = E_{c_{f}} - E_{c_{0}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{f}}^{2} \Rightarrow v_{f} = \sqrt{\frac{2 \cdot W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot g \cdot h}{m}};$

$v_{f} = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 30} = 24.26 m/s$

2.-Utilizando las expresiones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) nos quedaría

$\{\begin{cases} v_{f} = v_{0} + a \cdot t \\ y_{f} = y_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} v_{f} = g \cdot t \\ h = \frac{1}{2} g \cdot t^{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} v_{f} = g \cdot t \Rightarrow v_{f} = g \cdot \sqrt{\frac{2 h}{g}} = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = 24.26 m/s \\ t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} \end{cases}$

Tal y como cabía esperar, cualquiera de los dos caminos nos lleva a la misma solución.

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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