Campo eléctrico creado por dos esferas concéntricas

Datos

Esfera 1: Radio  R, carga +q
Esfera 2: Radio r, carga -q

Resolución

Cuestión a)

Para calcular el campo eléctrico en un punto exterior a la esfera 2 pero interior a la esfera 1, utilizaremos el teorema de Gauss. Para ello, determinaremos el flujo a través de una superficie gaussiana en forma de esfera y con un radio R₁, mediante la expresión general del flujo eléctrico:

$${\Phi }_E={\oint }_S\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{S}={\oint }_{S}E·dS = E·{\oint }_{S}dS = E·S = E·4·\pi ·{R_1}^2$$

Igualamos con el teorema de Gauss, que establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es equivalente al cociente de la carga neta que encierra y la permitividad del medio en el que se encuentra:

$${\Phi }_E= \frac{Q}{\epsilon }$$

Por tanto, teniendo en cuenta que nuestra carga neta interna es -q:

$$\begin{gathered} \frac{-q}{\epsilon }=E·4·\pi ·{R_1}^2 \Rightarrow \\ E= \frac{-q}{4·\pi ·\epsilon ·{R_1}^2} \end{gathered}$$

Cuestión b)

Si ahora escogemos una superficie gaussiana de radio R2, la carga neta que queda encerrada en dicha superficie +Q-Q = 0. Por tanto el flujo a través de dicha superficie es nulo. Y si el flujo electrico es nulo, la intensidad de campo eléctrico también lo es:

$$\begin{gathered} \frac{+q-q}{\epsilon }=E·4·\pi ·{R_2}^2 \Rightarrow \\ E= \frac{+q-q}{4·\pi ·\epsilon ·{R_2}^2} \Rightarrow \\ E=\frac{0}{4·\pi ·\epsilon ·{R_2}^2}= 0 \end{gathered}$$