Funciones Irracionales o con Radicales

Decimos que una función es irracional cuando presenta una raíz (un radical) que afecta a su variable independiente x. Existe una variedad enorme de funciones con radicales y su comportamiento varía de unas a otras. En este apartado vamos a estudiar sus características generales, profundizando en sus tipos más sencillos.

Gráficas de funciones raíz

Las funciones raíz cuadrada (1) y raíz cúbica (2) son los ejemplos más simples de funciones con radicales.

Vamos a estudiarlas en los siguientes puntos:

• Definición
• Gráficas
• Dominio
• Recorrido
• Continuidad y derivabilidad
• Crecimiento, decrecimiento y extremos
• Curvatura y puntos de inflexión
• Cortes con los ejes y cambios de signo
• Asíntotas y ramas
• Simetría
• Representación
• Aplicaciones prácticas

Vamos a hacer lo posible por que su estudio no te resulte demasiado irracional. ¿Empezamos?

Definición

Ejemplos

Podemos decir que son funciones irracionales...

$$\begin{array}{cc}\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }f\left(x\right)=\sqrt{x^3+2}& \mathit{b}\mathbf{)} f\left(x\right)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2x^3+2}}\\ \mathit{c}\mathbf{)} f\left(x\right)=\sqrt[1021]{x}& \mathit{d}\mathbf{)} f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}}+4\end{array}$$

Esta última no debe confundirte, pues está escrita en forma de exponente racional ( $f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}}+4=\sqrt[3]{x^5}+4$ ).

Por otro lado, no son funciones irracionales:

$$\begin{array}{cc}\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }f\left(x\right)=\sqrt{2}x& \mathit{b}\mathbf{)} f\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2+5^{\frac{1}{2}}\end{array}$$

Gráficas

Existen infinitas posibilidades para las gráficas de funciones irracionales. Al menos debes conocer las que te presentábamos al comienzo del apartado, $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ y $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$, así como sus variantes. Te presentamos algunas gráficas otras adicionales:

Gráficas de funciones irracionales

Las funciones irracionales pueden tener muy distintas formas y características:

• A veces solo están definidas en un tramo de la recta real. Observa que la 1, por ejemplo, no está definida en el intervalo (-1,1), y la dos está definida solo para x>1
• Pueden presentar asíntotas, como las 2 y la 3
• Pueden presentar curvas suaves, pero también puntos angulosos. Observa la diferente forma que presentan 2 y 3, a pesar de que en su forma analítica solo cambia el índice de la raíz

Un poco más abajo te daremos algunas claves para esbozar su gráfica a partir de la expresión analítica de la función. Por ahora, vamos a seguir viendo otras características que también debes tener presentes.

Dominio

El dominio de definición, recuerda, es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. En las funciones con raíces, es muy importante que prestes atención al índice de la raíz.

Raíces de índice impar

Estas no imponen ninguna restricción al dominio, de manera que si $f\left(x\right)=\sqrt[n_{impar}]{g\left(x\right)}$ el dominio de f(x) coincidirá con el de g(x), esto es Dom_f=Dom_g.

Raíces de índice par

Estas imponen que el radicando (lo que hay dentro de la raíz) debe ser mayor o igual que cero. Formalmente podemos decir que, siendo $f\left(x\right)=\sqrt[n_{par}]{g\left(x\right)}$, Dom_f={x∈Dom_g|g(x)≥0}. En la práctica se trata de calcular g(x)≥0 y quitar lo valores que no estén en el dominio de g(x).

Ejemplos

• $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\Rightarrow Do{m}_f=\mathrm{ℝ}$
• $f\left(x\right)=\sqrt{x}\Rightarrow Do{m}_f=[0,\infty )$
• Para que veas el distinto comportamiento de las raíces de índice par o índice impar puedes observar las gráficas 2 y 3 del punto anterior, ambas con igual radicando g(x)
• En este ejercicio del tema de funciones puedes consultar varios ejemplos resueltos de cálculo de dominio en funciones irracionales

Recorrido

No existe una regla inmediata y sencilla con la que calcular el recorrido de una función con radicales. En términos generales, te recomendamos que esboces la gráfica de la misma, estudiando sus extremos y asíntotas, tal y como veremos más abajo, para así poder deducir el recorrido. No obstante, en algunos casos podremos aplicar el método de la inversa.

Caso raíz impar de x

$$f\left(x\right)=\sqrt[n_{impar}]{x}$$

En este caso Rec_f=ℝ.

Función raíz cúbica de x

La función irracional de índice impar más sencilla es la raíz cúbica de x. Tomando valores suficientemente grades de x obtenemos valores suficientemente grandes de y. Análogamente, si hacemos la x suficientemente negativa, los valores de la función correspondientes serán tan negativos como se desee.

Ampliando esta idea, podemos decir que el dominio de funciones del tipo $f\left(x\right)=\sqrt[n_{impar}]{a·x+b}+c$ es también Rec_f=ℝ.

Caso raíz par de x

$$f\left(x\right)=\sqrt[n_{par}]{x}$$

En este caso Rec_f=[0,∞).

Función raíz cuadrada de x

La función irracional de índice par más sencilla es la raíz cuadrada de x. Tomando valores suficientemente grades de x obtenemos valores suficientemente grandes de y. Por el otro lado, el valor mínimo que puede tomar la raíz será 0.

Ampliando esta idea, podemos decir que el dominio de funciones del tipo $f\left(x\right)=\sqrt[n_{par}]{a·x+b}+c$ es Rec_f=[c,∞)..

Continuidad y derivabilidad

Efectivamente, tal y como vimos al estudiar las propiedades de la continuidad de funciones, las funciones compuestas son continuas en todo su dominio. Una función raíz se puede expresar como la composición de $r\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$ y g(x).

$$f\left(x\right)=\left(r\circ g\right)=\sqrt[n]{g\left(x\right)}$$

Efectivamente, utilizando las reglas de derivacion es inmediato comprobar que, siendo $f\left(x\right)=\sqrt[n]{g\left(x\right)}$, nos queda:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\text{'}\left(x\right)}{n\sqrt[n]{g{\left(x\right)}^{n-1}}}$$

La función g(x) es justamente el radicando, y en aquellos valores que hacen g(x)=0 el denominador de f'(x) se hace 0. Es decir, son puntos que no están en el dominio de la función derivada. Como ejemplo tenemos la función 3 del epígrafe anterior, Gráficas. Puedes ver claramente que en x=0 existe un punto anguloso. Otro ejemplo sería la función $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$, en la que en x=0 habría un punto de tangente vertical (tampoco es derivable en x=0).

Monotonía: Máximos y mínimos

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función con raíces, así como sus extremos, seguiremos el procedimiento habitual.

Curvatura: Puntos de inflexión

Para estudiar los intervalos en los que la función irracional es cóncava, y en cuáles convexa, así como los puntos de inflexión, seguimos el procedimiento habitual.

Cortes con los ejes

Cortes con eje x

Se trata de hacer f(x)=0 y obtener x. Esto es equivalente, en el caso de que $f\left(x\right)=\sqrt[n]{g\left(x\right)}$ a hacer 0 el radicando g(x)=0.

A estos puntos de corte con el eje x se les denomina de manera genérica ceros, como ya debes saber. En ellos puede cambiar el signo de la función.

Corte con eje y

Se trata de hacer x=0 y obtener f(0). Así, el punto de corte con el eje y será (0, f(0)).

Cortes y signo de la función irracional

En la figura está representada una función irracional. En azul hemos representado los puntos de corte con el eje x. En verde los puntos de corte con el eje y. Los ceros no son los únicos puntos en los que la función puede cambiar su signo. Como ves, también puede hacerlo en una asíntota vertical.

Asíntotas y ramas parabólicas

En general, siendo $f\left(x\right)=\sqrt[n]{g\left(x\right)}$, si g(x) tiene asíntotas, también las tendrá f(x). Podemos seguir el procedimiento habitual para el cálculo de asíntotas y ramas parabólicas.

Simetría

Las funciones irracionales pueden ser simétricas.

• Pueden presentar simetría impar, respecto al origen

  $$-f\left(x\right)=f\left(-x\right)$$

• O simetría par, respecto al eje y

  $$f\left(x\right)=f\left(-x\right)$$

Representación

Ya hemos visto cómo es la gráfica de las funciones irracionales más sencillas. En ocasiones se puede bosquejar la función pedida a partir de desplazamientos horizontales, verticales o escalados de la gráfica original.

Representación de funciones irracionales mediante transformaciones

En ocasiones, conocida la forma de una función puedes saber como representar algunas de sus variantes. En la figura superior hemos representado la función $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ y tres variantes inmediatas:

1. $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}$: Se trata de una traslación a la izquierda. Recuerda que los desplazamientos horizontales se realizan en el sentido contrario al que indica el signo (a la izquierda si sumamos y a la derecha si restamos)
2. $f\left(x\right)=\sqrt{x}-1$: Se trata de una traslación hacia abajo. Los desplazamientos verticales se realizan en el mismo sentido al que indica el signo
3. $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}-1$: Se trata de una combinación de los dos anteriores

Para el resto de casos en que esto no sea posible, nos tememos que vas a tener que emplear el procedimiento general. En resumen, se trata de poner en práctica los epígrafes tratados, elaborando una tabla con la siguiente información:

• A partir de f(x), dominio, continuidad, cortes con los ejes/signo, asíntotas y ramas. También si es simétrica y/o periódica
• A partir de f'(x) monotonía y posibles extremos
• A partir de f''(x) curvatura y puntos de inflexión

También puedes incluir una tabla de valores arbitrarios que estén en el dominio para ver el comportamiento de la función donde desees. Utiliza el simulador de funciones con radicales para cotejar tus resultados.

Aplicaciones

Existen numerosos fenómenos reales que pueden ser modelados con funciones con radicales:

• El tiempo que tarda un cuerpo en recorrer una determinada distancia, conocida su velocidad inicial y su aceleración
• La velocidad que adquiere un cuerpo de una determinada masa en función de la energía que se le suministra
• El radio que debe tener la base de un cono de una determinada altura para que tenga un volumen determinado