Operaciones con Infinito

El infinito (∞) es un concepto que ha ocupado la mente de filósofos, matemáticos y grandes científicos a lo largo de la historia. Aunque la definición concreta depende del campo en el que nos encontremos (geometría, teoría de conjuntos, análisis de funciones), todas ellas tienen en común la noción de una cantidad sin límite.

Lemniscata

Para representar el infinito se utiliza un símbolo denominado lemniscata. En la figura puedes ver distintas representaciones del mismo. Corresponden todas al carácter Unicode U+221E (código ∞) en distintos tipos de letra. Su nombre proviene del griego λημνίσκος (lemniscos), que significa lazo.

Aunque se asemeja bastante a un 8 tumbado, su forma precisa está descrita como el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las distancias desde dos puntos focales es constante (en contraposición a la elipse dónde es la suma a estos la que permanece constante).

En este apartado vamos a estudiar las aplicaciones del infinito en el cálculo de límites de funciones y entenderás por qué precisamente una cantidad sin límite es tan importante en el cálculo de estos. Lo haremos en los siguientes puntos:

• Concepto
• Operaciones:
  • Suma y resta
  • Multiplicación
  • División
  • Potenciación
• Aplicaciones reales en ciencias

¿Preparado?

Concepto

En la famosa película de animación Toy Story el vaquero Woody hace un alarde de ingenio utilizando el casco de su amigo Buzz Light Year como lente para encender la mecha de un cohete que les permita alcanzar a su dueño, Andy. Sin embargo en el culmen de su entusiasmo repite la famosa frase de Buzz "¡hasta el infinito, y más allá!". Gracias a este detalle, hoy sabemos que ni Buzz ni Woody habían echado un ojo a los libros de Matemáticas de Andy, y tampoco conocían Fisicalab... Bromas aparte, observa.

Lo primero que tienes que tener claro es que el infinito no es un número real, es, más bien... una idea. Piensa en un número muy grande. Por ejemplo, 100000. O mejor... 100000. O mejor... 10⁹⁹.. o mejor.. 9999⁹⁹⁹... o mejor... ¡espera!. Observa que sea cual sea el número en el que pienses, en el momento que lo haces, ya es un número finito y el infinito siempre estará por encima. De hecho, así llegamos a la segunda idea que tienes que tener muy clara. Cualquier número real x cumple que:

$$\boxed{-\infty <x<\infty }$$

Recta real

Cualquier número real que puedas imaginar es menor que infinito, y mayor que menos infinito. Es por ello que infinito y menos infinito son cotas, superior e inferior respectivamente, de cualquier intervalo o conjunto que puedas imaginar de números reales. Eso sí, se trata, como estamos viendo, de unas cotas muy especiales.

Un número real, y por consiguiente el valor de una función f(x), nunca pueden ser infinitos, pero pueden aproximarse. ¿Y qué concepto usamos en matemáticas para aproximarnos? Efectivamente, el del límite. Por tanto, aunque no lo indiquemos explícitamente, detrás de la idea de infinito siempre están los límites.

Esto quiere decir que, en ocasiones, nos será posible utilizar el infinito como si fuese uno valor más, y realizar operaciones con él. Para ello siempre hay que tener presente la idea subyacente de límite y, además, que el infinito es cota de cualquier otro número real. En el siguiente punto verás que esto es mucho más sencillo de lo que parece.

Operaciones con infinito

Como hemos dicho, operar con el infinito presenta ciertas particularidades que lo diferencian de los números de cualquier otro tipo. Comenzamos presentándote una tabla que puedes utilizar como futura referencia:

A continuación vamos a explicarte cada una de estas operaciones, ya que lo importante no es que memorices la tabla, sino que aprendas a razonar de la manera adecuada cuando se te presente el infinito en cualquier operación. No olvides respetar siempre la regla de signos:

$$\begin{gathered} +\left(\infty \right)=\infty \\ -\left(\infty \right)=-\infty \\ +\left(-\infty \right)=-\infty \\ -\left(-\infty \right)=+\infty \end{gathered}$$

Suma y resta

Infinito frente a un número real

Siendo k cualquier número real mayor, igual o menor que cero, razonamos: "Si a algo infinitamente grande, sin límites, le sumamos o restamos cualquier número finito k, el resultado sigue siendo inmensamente grande y sin límites". De esta manera nos queda:

• $k\in \mathrm{ℝ}$
  • $\infty +k=\infty$
  • $-\infty +k=-\infty$

Infinito frente a infinito

En este caso razonamos: "Si a algo infinitamente grande, sin límites, le sumamos algo infinitamente grande y sin límites, nos queda algo infinitamente grande y sin límites". Por tanto, nos queda:

• $\infty +\infty =\infty$
• $-\infty -\infty =-\left(\infty +\infty \right)=-\infty$

En ambos casos nos encontramos operando infinitos de igual signo. Si cada infinito tuviera un signo distinto nos encontraríamos antes una operación indeterminada $\infty -\infty$.

Multiplicación

Infinito frente a un número real

Siendo k cualquier número real mayor, o menor que cero, razonamos: "Si a algo infinitamente grande, sin límites, lo multiplicamos por cualquier número finito k≠0, el resultado sigue siendo inmensamente grande y sin límites, y tendrá el signo que corresponda aplicando la regla de signos". De esta manera nos queda:

• k>0
  • $\infty ·k=\infty$
  • $-\infty ·k=-\infty$
• k<0
  • $\infty ·k=-\infty$
  • $-\infty ·k=\infty$

En el caso de que k=0, tenemos una indeterminación $\pm \infty ·0$.

Infinito frente a infinito

Podemos razonar de la siguiente manera: "Si algo infinitamente grande, sin límites, lo multiplicamos por algo inmensamente grande, también sin límite, el resultado será inmensamente grande, y sin límites, y tendrá el signo que corresponda aplicando la regla de signos". En este caso tendríamos:

• $\left(\infty \right)·\left(\infty \right)=\left(-\infty \right)·\left(-\infty \right)=\infty$
• $\left(\infty \right)·\left(-\infty \right)=\left(-\infty \right)·\left(\infty \right)=-\infty$

Cociente

Infinito frente a un número real en el denominador

Siendo k cualquier número real razonamos: "Dividir entre k es lo mismo que multiplicar por 1/k, con lo que los resultados deben ser iguales a los de la multiplicación". De este modo tenemos:

• k>0
  • $\infty /k=\infty$
  • $-\infty /k=-\infty$
• k<0
  • $\infty /k=-\infty$
  • $-\infty /k=\infty$

Mención especial merece el caso k=0. Sabemos que no tiene sentido dividir entre 0, por lo que estrictamente también es una indeterminación. Pero si vemos el 0 como un valor al que nos aproximamos (de igual manera que ya hemos indicado que tras el ∞ también está implícita la idea de límite), tenemos algo infinitamente grande dividido entre algo infinitamente pequeño, con lo que nos quedaría:

• k=0
  • $\frac{\infty }{0}=\pm \infty$
  • $\frac{-\infty }{0}=\mp \infty$

El signo más o menos de los resultados dependerá de si me acerco al 0 con números un poco mayores que 0 o con números un poco menores que 0. Volveremos a esta idea cuando estudiemos las indeterminaciones.

Infinito frente a un número real en el numerador

Siendo k cualquier número real razonamos: "Si cualquier número finito lo "repartimos" (dividimos) entre algo infinitamente grande, el resultado es cero". De esta manera nos queda:

• $k\in \mathrm{ℝ}$
  • $\frac{k}{\infty }=0$
  • $\frac{k}{-\infty }=0$

Infinito frente a infinito

En este caso, siempre que dividimos infinitos entre infinitos nos queda una indeterminación $\frac{\pm \infty }{\pm \infty }$.

Otras posibilidades

Cuando observamos el 0 al igual que hacemos con el infinito, como un valor al que nos aproximamos y no como un valor concreto, podemos obtener dos casos que también merecen nuestra atención:

• $\frac{k}{0}=\pm \infty$
• $\frac{0}{0}$, que es una indeterminación

Potencias

Infinito frente a un número real en la base

Razonamos: "Cualquier número finito, mayor que 1, elevado a algo inmensamente grande da algo inmensamente grande, sin límites. Si el número está entre 0 y 1, al elevarlo a algo inmensamente grande el resultado se hace cada vez más pequeño (se acerca a 0). Si el exponente tiene signo negativo se aplica que a^-k=1/a^k". Veamos:

• k>1
  • $k^{\infty }=\infty$
  • $k^{-\infty }=\frac{1}{k^{\infty }}=\frac{1}{\infty }=0$
• 0<k<1
  • $k^{\infty }=0$
  • $k^{-\infty }=\frac{1}{k^{\infty }}=\infty$

Mención especial para este último caso. Observa que, siendo k un número menor que 1, al elevarlo a infinito (es decir, multiplicarlo por si mismo "un número incontable" de veces) el valor se aproximaría a 0 (en cada multiplicación obtendríamos un número siempre mayor que cero, pero cada vez más próximo a este). Si divides uno entre un número que se aproxima muchísimo a 0 obtienes un número inmensamente grande, es decir infinito.

Por otro lado, tenemos indeterminación en el caso de que k sea 1:

$$1^{\pm \infty }\Rightarrow \text{IND}$$

Infinito frente a un número real en el exponente

Podemos razonar de la siguiente manera: "Si algo inmensamente grande, sin límites, es elevado a un número finito mayor que cero, el resultado será inmensamente grande, sin límites". Aplicando que a^-k=1/a^k, podemos contemplar también los casos en que el número finito sea menor que cero:

• k>0
  • ${\infty }^k=\infty$
• k<0
  • ${\infty }^k=\frac{1}{{\infty }^{-k}}=\frac{1}{\infty }=0$

En este caso las indeterminadas se presentan cuando elevásemos infinito a cero: ${\infty }^0$.

Por otro lado, recuerda que cuando la base es -∞ habrá que tener en cuenta la paridad del exponente, -∞^par=∞ y -∞^impar=-∞.

Infinito frente a infinito

Aquí podemos razonar de la siguiente manera: "Si algo inmensamente grande, sin límites, es elevado a algo inmensamente grande, el resultado es algo inmensamente grande". Aplicando que a-k=1/ak, podemos contemplar también los casos en que el infinito del exponente sea negativo:

• ${\infty }^{\infty }=\infty$
• ${\infty }^{-\infty }=\frac{1}{{\infty }^{\infty }}=\frac{1}{\infty }=0$

Cuando la base es menos infinito, tenemos una indeterminación ${\left(-\infty \right)}^{\infty }$, pues no podemos saber la paridad de infinito.

Otras posibilidades

Una vez más observando el 0 en el sentido de los límites, nos quedan dos operaciones con potencias que merecen nuestra atención, aunque ninguna de ellas implica directamente al infinito:

• k⁰. Esta es evidente, pues cualquier número elevado a 0 es 1...
• ...salvo 0⁰, que es una indeterminación

En apartados posteriores te explicaremos algunos métodos para resolver algunas de las indeterminaciones más comunes.

En la práctica

Ahora que ya sabes realizar operaciones con infinito puede que te estés preguntando como se aplica esto en el mundo real, en ciencias, por ejemplo en física... ¿tiene sentido?

Lo cierto es que sí, en numerosas ocasiones despreciamos cantidades o hacemos aproximaciones que tienen mucho que ver con las dimensiones del problema que estemos tratando...

El infinito depende del contexto

Si estamos resolviendo un problema en el que las dimensiones son muy pequeñas, por ejemplo, un problema relacionado con las distancias y radios de un átomo, una cantidad de 1 metro podría ser considerada infinito, y una distancia del orden de nanometros, una distancia normal que considerar en los cálculos. En cambio, si estamos trabajando con problemas relacionados con las interacciones entre estrellas, un metro podría ser considerado despreciable (igual a 0), y un año luz sería una cantidad normal con la que realizar las operaciones.

Si no estás convencida de esto, prueba a aplicar la ley de la gravedad para calcular la fuerza que ejerce la Tierra sobre ti, y posteriormente calcula la fuerza que ejerce una hipotética estrella situada a 240 años luz de masa 2·10³⁰ kg. ¿Y si la distancia fuera de 240 años luz y 1 metro?