Ejercicios Resueltos de Límites de Funciones

Resuelve los siguientes límites directos:

1. $$\underset{x\to 2}{\lim }(x+3)$$
2. $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x^2}{2}$$
3. El límite de la función $f\left(x\right)=\frac{3x}{x^2+x+2}$ en x=1
4. $$\underset{x\to -2}{\lim }\sqrt{x+1}$$
5. $$\underset{t\to \frac{\mathrm{\pi }}{3}}{\lim }\left(\cos \left(t\right)+2\right)$$
6. $$\underset{x\to {10}^{-3}}{\lim }\log \left(10·x\right)$$

Resuelve, cuando sea posible, los límites de las funciones racionales siguientes, e interpreta el resultado graficamente:

1. $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2+x}{x+3}$$
2. $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^3-27}{x+3}$$
3. $$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{5x+\sqrt{-x}}{x^3+1}$$
4. $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{{\left(x-1\right)}^2}$$
5. $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-3}{{\left(x-1\right)}^2}$$
6. $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x^2-10x+12}{x^2+3x-10}$$
7. El límite de la función $f\left(x\right)=\frac{x^3}{x^2-4}$ en -2, 0 y 2

Calcula los límites de las siguientes funciones a trozos y en valor absoluto

1. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x+2& \text{si}& x<3\\ -2x+5& \text{si}& x\ge 3\end{array}\right.\text{en} x=3\text{,} x=0 \text{y} x=5$$
2. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x+2& \text{si}& x<3\\ 3& \text{si}& x=3\\ x^2-4& \text{si}& x>3\end{array}\right.\text{en} x=0, x=3 \text{y} x=5$$
3. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{2x^2-10x+1}{x^2+3x-10}& \text{si}& x>2\\ -3x+5& \text{si}& x<2\end{array}\right.\text{en} x=2$$
4. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2& \text{si}& x\ne 1\\ 2& \text{si}& x=1\end{array}\right.\text{en} x=1\text{,} x=3 \text{y} x=0$$
5. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-\left(2+2x\right)& \text{si}& -1\ge x\\ 2-x^2& \text{si}& -1<x\le 1\\ 2x-1& \text{si}& x\ge 2\end{array}\right.\text{en} x=-1 \text{y} x=1$$
6. $$f\left(x\right)=\left|x^2-2x\right| \text{en} x=0 \text{y} x=2$$
7. $$f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x} \text{en} x=0$$
8. $$f\left(x\right)=\frac{1}{-1+\left|x\right|} \text{en} x=0 \text{y} x=-1$$

Ordena, de mayor a menor, los órdenes de los infinitos que corresponderían a las siguientes funciones:

$${\log }_2\left(x^3\right) , 1000x , 3^x , x^2 , \log \left(x^2\right), \sqrt[5]{x^6}$$

Resuelve los siguientes límites directos:

1. $$\underset{x\to \infty }{\lim }3x^2+x$$
2. $$\underset{x\to -\infty }{\lim }3x+x^3-2$$
3. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}+e^{-3x}$$
4. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x+2}+e^{2x}$$
5. $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\log \left(3\right)}{\sqrt{x}}$$
6. $$\underset{h\to \infty }{\lim }{3}^{\frac{2}{3h}}+1$$
7. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\ln \left(x\right)}$$
8. $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\log }_5\left(-x+2\right)·\sqrt{\frac{-3x}{2}}$$
9. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^x$$
10. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(-x\right)}^x$$

Resuelve los siguientes límites de manera directa, comparando el grado de los infinitos de las funciones involucradas cuando sea necesario. Representa los resultados obtenidos, al menos una vez para cada tipo (6 posibilidades en total: resultado infinito, resultado menos infinito y resultado finito cuando x tiende a infinito y a menos infinito):

1. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^3-x+2$$
2. $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^4-x^2+2$$
3. $$\underset{x\to \infty }{\lim }3x-\sqrt{x^3+x^2+x+1}$$
4. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{2}^x-e^x$$
5. $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{2}^{-x}-\frac{1}{e^x}$$
6. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x-\ln \left(2x\right)}{{\pi }^x}$$
7. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log \left(\sqrt{x^3+2}\right)}{\ln \left(e^x+1\right)}$$
8. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3+3x}{-x^2+x}$$
9. $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-x}{x^3+3x-\ln \left(x\right)}$$
10. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4x^3+\sqrt[3]{x+1}}{3x^3+x}$$
11. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{3x^2+5}}{2x+3}$$
12. $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{x^5+6}}{x+\sqrt[6]{x^{10}+x}}$$

13. Límite cuando x tiende a infinito y a menos infinito de

    $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^2-x^3+e^{{\displaystyle \frac{x}{2}}}}{\ln \left(1-x\right)-2^x}& \text{si}& x\le 3\\ 3^x& \text{si}& 3<x<2\\ 2^{-x-\sqrt{x}}+\frac{{\log }_2\left(2x\right)}{\ln \left(e^x\right)}& \text{si}& x\ge 2\end{array}\right.$$

Determina los límites indicados, a partir de las gráficas de las funciones correspondientes. Cuando sea relevante, indica también el valor de los límites laterales: 

Sabiendo que cuando x→2, f(x)→4, g(x)→0 y h(x)→∞, di el valor de los siguientes límites cuando sea posible:

1. $$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)$$
2. $$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)-g\left(x\right)$$
3. $$\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)+g\left(x\right)$$
4. $$\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)-h\left(x\right)$$
5. $$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)·g\left(x\right)$$
6. $$\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)·g\left(x\right)$$
7. $$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)/g\left(x\right)$$
8. $$\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)/f\left(x\right)$$
9. $$\underset{x\to 2}{\lim }g{\left(x\right)}^{-1}$$
10. $$\underset{x\to 2}{\lim }f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$$
11. $$\underset{x\to 2}{\lim }h{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$$
12. $$\underset{x\to 2}{\lim }{3}^{-h\left(x\right)}$$
13. $$\underset{x\to 2}{\lim }h{\left(x\right)}^{-h\left(x\right)}$$
14. $$\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}$$
15. $$\underset{x\to 2}{\lim }{\log }_4\left(f\left(x\right)\right)$$

Las siguientes gráficas corresponden a las funciones f(x), en 1, y g(x), en 2.

Determina:

1. $$\underset{x\to -6^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$
2. $$\underset{x\to -6^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$
3. $$\underset{x\to -5^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$
4. $$\underset{x\to -5^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$
5. $$\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$
6. $$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$
7. $$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$
8. $$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$
9. $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$
10. $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$
11. $$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$
12. $$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$
13. $$\underset{x\to -4^{-}}{\lim }g\left(x\right)$$
14. $$\underset{x\to -4^{+}}{\lim }g\left(x\right)$$
15. $$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }g\left(x\right)$$
16. $$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }g\left(x\right)$$
17. $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }g\left(x\right)$$
18. $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)$$
19. $$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g\left(x\right)$$
20. $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)$$

Resuelve cuando sea posible los siguientes límites:

1. $$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x^2+x}{x^3-3}$$
2. $$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\sqrt{x^2-1}-2x$$
3. $$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\sqrt{x^2-1}-2x$$
4. $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) \text{con} f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x<0\\ \frac{1}{x+2}& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.$$
5. $$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right) \text{con} f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x<0\\ \frac{1}{x+2}& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.$$
6. $$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^5+1}$$
7. $$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^5+1}$$
8. $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left|1-x\right|}{x-1}$$
9. $$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left|1-x\right|}{x-1}$$

Resuelve los siguientes límites. Cuando sea necesario, resuelve las indeterminaciones que obtengas:

1. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^3+4}{x+3}-\frac{5x^3-x}{x-3}$$
2. $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^5+4}{3x^4+2}-\frac{x}{3}$$
3. $$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^3+x^2-9x-9}{2x^2+2x-12}$$
4. $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[8]{-x^3+x}}{\sqrt[4]{x^2+x-2}}$$
5. $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-5x+3}{x^2+3x}-\frac{x^3+2x+4}{x^3+4x}$$
6. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3^x}{10x^5-2}$$
7. $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}$$
8. $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{2x}$$
9. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{3-x^2}·\frac{2x+5x^2}{3x+2}$$
10. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+2}}{9x}$$
11. $$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x-2\sqrt{x}}}$$

Calcula, cuando sea posible, los siguientes límites:

1. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{3x}\right)}^x$$
2. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{3x}\right)}^{2x}$$
3. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{3x^2+x-1}{3x^2-2}\right)}^{2x+1}$$
4. $$\underset{x\to 7}{\lim }{\left(\frac{x^2-7x+2}{x-5}\right)}^{\frac{x+2}{x-7}}$$
5. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}+\frac{x^2-x}{3x^2+2x}\right)}^{\frac{2+x^2}{1+x}}$$
6. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{x+1}{1-x^2}\right)}^{-x}$$
7. $$\underset{x\to \mathrm{\pi }/2}{\lim }{\left(1+\cos \left(x\right)\right)}^{3·\sec \left(x\right)}$$
8. $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{x^4+x^3-x^2+3}{x^3}-\frac{x^3+x}{x^2}\right)}^{\frac{x^2-3}{x}}$$

Determina el valor de k para que el valor de los límites correspondientes sea el indicado:

1. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2k{x}^4-3k{x}^2+kx-5}{x^2-4x^4}=1$$
2. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{2x^2-kx}-\sqrt{3+2x^2}=\sqrt{2}$$
3. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2x^2+kx+2}{2x^2-x}\right)}^{\frac{5x^2-1}{x}}=\frac{1}{e^4}$$

Calcula, cuando sea posible, los siguientes límites. En caso de obtener alguna indeterminación, resuélvela por el método que consideres oportuno:

1. $$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x^2+6x}-x$$
2. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{\sqrt{5}}{x}}$$
3. $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{x-2}{x+3}\right)}^{\sqrt{x^2-6x}+x}$$
4. $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}$$
5. $$\underset{x\to 3}{\lim }{e}^{\frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{3}}-1}}$$
6. $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}+\frac{x^2+\left|x\right|}{\left|2x^2+2x\right|}$$
7. $$\underset{x\to -5}{\lim }\sqrt{x^3-1}$$

A partir de las siguientes gráficas de funciones, determina la ecuación de las asíntas de cada una de ellas:

Nota: Considera que cada cuadro de las cuadrículas tiene una longitud de una unidad en horizontal y una unidad en vertical.

Determina la ecuación de las asíntotas de las siguientes funciones. Sitúa asimismo la curva respecto a las mismas:

1. $$f\left(x\right)=\frac{2-4x^2}{x^2-1}$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{x^2+2}{x^3}$$
3. $$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x+1}$$
4. $$f\left(x\right)=\frac{x^5+2}{3}$$
5. $$f\left(x\right)=\frac{x^3}{x^2+2}$$

Determina si hay ramas verticales en las siguientes funciones:

1. $$f\left(x\right)=\frac{x^3+4}{x}$$
2. $$f\left(x\right)=\ln \left(x+3\right)$$
3. $$f\left(x\right)=x+\sqrt{x}$$

Determina la continuidad de las funciones representadas en las siguientes gráficas, y clasifica las discontinuidades que encuentres.

Nota: Considera que cada cuadro tiene una longitud de una unidad de largo y una de alto.

Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. Cuando sea posible, redefine las funciones para que sean continuas.

1. $$f\left(x\right)= x^2+\frac{3x}{5} \text{en} x=\frac{5}{3}$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{3+x}{x-3} \text{en} x=3 \text{y} x=0$$
3. $$f\left(x\right)=\frac{x^3-2x^2+3x-6}{x^2-x-2} \text{en} x=2$$
4. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{2}{x}& \text{si}& x\le 2\\ x-1& \text{si}& x>2\end{array}\right.\text{en} x=2$$
5. $$f\left(x\right)=3-\ln \left(x\right) \text{en} x=e$$

Di si las siguientes funciones son continuas en los intervalos indicados:

1. $$f\left(x\right)=\sqrt{x+3} \text{en} \left(-3,3\right)$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{3+x}{2-x} \text{en} \left[-3, 3\right]$$
3. $$f\left(x\right)=\frac{x^2+x-3}{x^2-4x+3} \text{en} \left(1,3\right) \text{y en} \left[1, 3\right]$$

Determina si las siguientes funciones son continuas o no. En caso de no serlo, estudia el tipo de discontinuidad que presentan:

1. $$f\left(x\right)=x^5+3x^2+\frac{x}{2}+1$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{x-1}{3x+1}$$
3. $$f\left(x\right)=\frac{x+2}{2x^2+2x-4}$$
4. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x\le 1\\ x^2+x+3& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$
5. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x-1}{x+2}& \text{si}& x<0\\ \frac{1}{x^2+x-2}& \text{si}& x>0\end{array}\right.$$
6. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x<-3\\ \left|2x+3\right|& \text{si}& -3\le x<0\\ 3& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.$$
7. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x<-3\\ \left|2x+3\right|& \text{si}& -3\le x<0\\ 3& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.$$
8. $$f\left(x\right)=e^{\frac{1}{3-x}}$$
9. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{e}^x& \text{si}& x>1\\ \ln \left(x\right)& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.$$
10. $$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3-x}}{x}$$

Estudia la continuidad de la función teniendo en cuenta el parámetro a:

1. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3& \text{si}& x<0\\ x+a& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.$$
2. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{a}^x+2& \text{si}& x\le 0\\ \ln \left(a+x\right)& \text{si}& x>0 \text{y} a>0\end{array}\right.$$
3. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{2+\left|x\right|}{2-x}& \text{si}& x<-1\\ a& \text{si}& x=-1\\ \frac{-1+\sqrt{x+2}}{{\displaystyle \frac{x}{2}+\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}& \text{si}& x>-1\end{array}\right.$$