Fórmulas de Límites de Funciones

Aquí tienes un completo formulario del tema Termodinámica. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

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Límite de una Función en un Punto
Operaciones con Infinito
Cálculo del Límite de una Función en un Punto
Límite de una Función en el Infinito
Cálculo del Límite de una Función en el Infinito
Operaciones con Límites
Límites Laterales
Indeterminaciones
Asíntotas de una Función
Ramas Parabólicas de una Función
Continuidad de Funciones

Límite de una Función en un Punto

- Ver teoría

Condición necesaria y suficiente de existencia del límite

\lim_{x \to a^{-}} f (x) = \lim_{x \to a^{+}} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to a} f (x) = L

Definición de límite de una función en un punto

\lim_{x \to a} f (x) = L \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0 | \forall x \in D o m_{f}, 0 < |x - a| < δ \Rightarrow |f (x) - L| < ε

Operaciones con Infinito

- Ver teoría

Resumen de operaciones con infinito

k \pm \infty = \pm \infty \pm (\infty + \infty) = \pm \infty \pm \infty \cdot k = \pm \infty Si k > 0 \pm \infty \cdot k = \mp \infty Si k < 0 \infty \cdot \pm \infty = \pm \infty - \infty \cdot (\pm \infty) = \mp \infty \frac{k}{\pm \infty} = 0 \frac{\infty}{0} = \frac{k}{0} = \infty

Cálculo del Límite de una Función en un Punto

- Ver teoría

Condición necesaria y suficiente de existencia del límite

\lim_{x \to a^{-}} f (x) = \lim_{x \to a^{+}} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to a} f (x) = L

Valor del límite de una función continua en un punto

\lim_{x \to a} f (x) = f (a)

Límite de P(x)/Q(x) en un punto en que se anula sólo Q(x)

Q (a) = 0 y P (a) = k \neq 0 \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{P (x)}{Q (x)} = \{\begin{cases} \pm \infty \\ ∄ \end{cases}

Límite de P(x)/Q(x) en un punto en que se anulan P(X) y Q(x)

Q (a) = P (a) = 0 \Rightarrow \begin{matrix} P (x) = (x - a) \cdot P_{s} (x) \\ Q (x) = (x - a) \cdot Q_{s} (x) \end{matrix} \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{P (x)}{Q (x)} = \lim_{x \to a} \frac{P_{s} (x)}{Q_{s} (x)}

Límite de la suma y resta de funciones

\lim [f (x) \pm g (x)] = \lim f (x) \pm \lim g (x) = a \pm b

Límite del producto de funciones

\lim [f (x) \cdot g (x)] = \lim f (x) \cdot \lim g (x) = a \cdot b

Límite del cociente de funciones

\lim [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{\lim f (x)}{\lim g (x)} = \frac{a}{b}

Límite de la función constante

\lim k = k \Rightarrow \lim k \cdot f (x) = k \cdot \lim f (x)

Límite de la potencia de dos funciones

\lim [f {(x)}^{g (x)}] = \lim f {(x)}^{\lim g (x)} = a^{b}

Límite de la composición de funciones

\lim (f \circ g) (x) = \lim (f [g (x)]) = f [\lim (g (x))] = f (a)

Límite de una Función en el Infinito

- Ver teoría

Definición de límite de una función en el infinito, valor finito

\lim_{x \to \infty} f (x) = L \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists h \in ℝ | Si x > h \Rightarrow |f (x) - L| < ε

Definición de límite de una función en el menos infinito, valor finito

\lim_{x \to - \infty} f (x) = L \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists h \in ℝ | Si x < h \Rightarrow |f (x) - L| < ε

Definición de límite de una función en el infinito, valor infinito

\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty \Leftrightarrow \forall k \in ℝ, \exists h \in ℝ | Si x > h \Rightarrow f (x) > k

Definición de límite de una función en el menos infinito, valor infinito

\lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty \Leftrightarrow \forall k \in ℝ, \exists h \in ℝ | Si x < h \Rightarrow f (x) > k

Definición de límite de una función en el infinito, valor menos infinito

\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \forall k \in ℝ, \exists h \in ℝ | Si x > h \Rightarrow f (x) < k

Definición de límite de una función en el menos infinito, valor menos infinito

\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \forall k \in ℝ, \exists h \in ℝ | Si x < h \Rightarrow f (x) < k

Cálculo del Límite de una Función en el Infinito

- Ver teoría

Cambio de variable para límites en menos infinito

\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to \infty} f (- x)

Comparación de infinitos

\lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \pm \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{g (x)}{f (x)} = 0 \Rightarrow Orden f > Orden g

Límite de la suma y resta de funciones

\lim [f (x) \pm g (x)] = \lim f (x) \pm \lim g (x) = a \pm b

Límite del producto de funciones

\lim [f (x) \cdot g (x)] = \lim f (x) \cdot \lim g (x) = a \cdot b

Límite del cociente de funciones

\lim [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{\lim f (x)}{\lim g (x)} = \frac{a}{b}

Límite de la función constante

\lim k = k \Rightarrow \lim k \cdot f (x) = k \cdot \lim f (x)

Límite de la potencia de dos funciones

\lim [f {(x)}^{g (x)}] = \lim f {(x)}^{\lim g (x)} = a^{b}

Límite de la composición de funciones

\lim (f \circ g) (x) = \lim (f [g (x)]) = f [\lim (g (x))] = f (a)

Operaciones con Límites

- Ver teoría

Límite de la suma y resta de funciones

\lim [f (x) \pm g (x)] = \lim f (x) \pm \lim g (x) = a \pm b

Límite del producto de funciones

\lim [f (x) \cdot g (x)] = \lim f (x) \cdot \lim g (x) = a \cdot b

Límite del cociente de funciones

\lim [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{\lim f (x)}{\lim g (x)} = \frac{a}{b}

Límite de la función constante

\lim k = k \Rightarrow \lim k \cdot f (x) = k \cdot \lim f (x)

Límite de la potencia de dos funciones

\lim [f {(x)}^{g (x)}] = \lim f {(x)}^{\lim g (x)} = a^{b}

Límite de la composición de funciones

\lim (f \circ g) (x) = \lim (f [g (x)]) = f [\lim (g (x))] = f (a)

Límites Laterales

- Ver teoría

Condición necesaria y suficiente de existencia del límite

\lim_{x \to a^{-}} f (x) = \lim_{x \to a^{+}} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to a} f (x) = L

Límite lateral izquierdo infinito de una función en un punto

\lim_{x \to a^{-}} f (x) = \infty \Leftrightarrow \forall k > 0, \exists δ > 0 | \forall x \in D o m_{f}, a - δ < x < a \Rightarrow f (x) > k

Límite lateral izquierdo menos infinito de una función en un punto

\lim_{x \to a^{-}} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \forall k < 0, \exists δ > 0 | \forall x \in D o m_{f}, a - δ < x < a \Rightarrow f (x) < k

Límite lateral izquierdo finito de una función en un punto

\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0 | \forall x \in D o m_{f}, a - δ < x < a \Rightarrow | f (x) - L | < ε

Límite lateral derecho infinito de una función en un punto

\lim_{x \to a^{+}} f (x) = \infty \Leftrightarrow \forall k > 0, \exists δ > 0 | \forall x \in D o m_{f}, a < x < a + δ \Rightarrow f (x) > k

Límite lateral derecho menos infinito de una función en un punto

\lim_{x \to a^{+}} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \forall k < 0, \exists δ > 0 | \forall x \in D o m_{f}, a < x < a + δ \Rightarrow f (x) < k

Límite lateral derecho finito de una función en un punto

\lim_{x \to a^{+}} f (x) = L \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0 | \forall x \in D o m_{f}, a < x < a + δ \Rightarrow | f (x) - L | < ε

Indeterminaciones

- Ver teoría

Número e como límite de una función

\lim_{f (x) \to \infty} {(1 + \frac{1}{f (x)})}^{f (x)}

Asíntotas de una Función

- Ver teoría

Asíntota vertical

\lim_{x \to k} f (x) = \pm \infty ó \lim_{x \to k^{-}} f (x) = \pm \infty ó \lim_{x \to k^{+}} f (x) = \pm \infty

Asíntota horizontal

\lim_{x \to \infty} f (x) = k ó \lim_{x \to - \infty} f (x) = k

Asíntota oblicua

1 \lim_{x \to \infty} f (x) = \pm \infty; 2 m = \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x}; 3 n = \lim_{x \to \infty} (f (x) - m x)

Ramas Parabólicas de una Función

- Ver teoría

Rama parabólica con eje horizontal de una función

\lim_{x \to \infty} f (x) = \pm \infty y \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = 0

Rama parabólica con eje vertical de una función

\lim_{x \to \infty} f (x) = \pm \infty y \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = \pm \infty

Rama parabólica con eje oblicuo de una función

\lim_{x \to \infty} f (x) = \pm \infty y m = \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} \neq 0 y \lim_{x \to \infty} (f (x) - m x) = \pm \infty

Continuidad de Funciones

- Ver teoría

Continuidad de una función en un punto

f (a) = \lim_{x \to a} f (x)

Definición formal de continuidad en un punto

1 . \exists f (a) 2 . \forall ε > 0, \exists δ > 0 | si |x - a| < δ \Rightarrow |f (x) - f (a)| < ε

Discontinuidad evitable

1 . \lim_{x \to a} f (x) = k 2 . ∄ f (a) ó f (a) \neq k

Discontinuidad de salto finito

\begin{array}{r} \lim_{x \to a^{-}} f (x) = k \\ \lim_{x \to a^{+}} f (x) = l \end{array} con k \neq l y k, l \in ℝ

Discontinuidad de salto infinito

\lim_{x \to a^{-}} f (x) = \pm \infty y/o \lim_{x \to a^{+}} f (x) = \pm \infty

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Límite de P(x)/Q(x) en un punto en que se anula sólo Q(x)

Límite de P(x)/Q(x) en un punto en que se anulan P(X) y Q(x)

Límite de la suma y resta de funciones

Límite del producto de funciones

Límite del cociente de funciones

Límite de la función constante

Límite de la potencia de dos funciones

Límite de la composición de funciones

Límite de una Función en el Infinito

Definición de límite de una función en el infinito, valor finito

Definición de límite de una función en el menos infinito, valor finito

Definición de límite de una función en el infinito, valor infinito

Definición de límite de una función en el menos infinito, valor infinito

Definición de límite de una función en el infinito, valor menos infinito

Definición de límite de una función en el menos infinito, valor menos infinito

Cálculo del Límite de una Función en el Infinito

Cambio de variable para límites en menos infinito

Comparación de infinitos

Límite de la suma y resta de funciones

Límite del producto de funciones

Límite del cociente de funciones

Límite de la función constante

Límite de la potencia de dos funciones

Límite de la composición de funciones

Operaciones con Límites

Límite de la suma y resta de funciones

Límite del producto de funciones

Límite del cociente de funciones

Límite de la función constante

Límite de la potencia de dos funciones

Límite de la composición de funciones

Límites Laterales

Condición necesaria y suficiente de existencia del límite

Límite lateral izquierdo infinito de una función en un punto

Límite lateral izquierdo menos infinito de una función en un punto

Límite lateral izquierdo finito de una función en un punto

Límite lateral derecho infinito de una función en un punto

Límite lateral derecho menos infinito de una función en un punto

Límite lateral derecho finito de una función en un punto

Indeterminaciones

Número e como límite de una función

Asíntotas de una Función

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

Asíntota oblicua

Ramas Parabólicas de una Función

Rama parabólica con eje horizontal de una función

Rama parabólica con eje vertical de una función

Rama parabólica con eje oblicuo de una función

Continuidad de Funciones

Continuidad de una función en un punto

Definición formal de continuidad en un punto

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito

Discontinuidad de salto infinito

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