Interferencia de ondas armónicas en un punto a partir de ecuaciones de onda

Datos

• Ecuación de ambas ondas: $y=0.6·\sin \left(100·t-4·x\right)$ 
• Distancias a los focos: x₁=π/2m ; x₂=πm

Consideraciones previas

En general, la ecuación de la onda que resulta de la interferencia de dos ondas armónicas coherentes depende de las distancias de los focos al punto considerado, x₁ y x₂ respectivamente. Concretamente, de acuerdo a lo visto en el apartado al que pertenece este ejercicio, la interferencia en un punto genérico P, se obtiene mediante la suma algebráica de las ecuaciónes de onda evaluadas en dicho punto:

$$y_T=y_1+y_2=2·A·cos\left(\frac{k·(x_2-x_1)}{2}\right)·\sin \left(\omega ·t-k·\frac{x_1+x_2}{2}\right)$$ 

Resolución

Identificando la expresión anterior con nuestro caso concreto nos queda:

$$\left.\begin{array}{r}{y}_1=0.6·sin\left(100·t-4·x_1\right)\\ y_2=0.6·sin\left(100·t-4·x_2\right)\end{array}\right\}\Rightarrow y_P=y_1+y_2=A_T·\sin \left(100·t-4·\frac{x_1+x_2}{2}\right)$$ 

…siendo:

$$A_T=2·A·cos\left(\frac{4·(x_2-x_1)}{2}\right)=1.2·\cos \left(2·(x_2-x_1)\right)$$

Observa que la frecuencia con la que vibra el punto en el que se produce la interferencia es la misma que la de las ondas que interfieren (ω=100 rad/s). Por otro lado, el número de onda k de las ondas originales ( k=4 rad/m ) y las distancias a los focos x₁ y x₂ son el resto de factores que determinan la vibración del punto de interferencia, que no es más que un m.a.s. en el eje y.

Finalmente, considerando x₁=π/2 m y x₂= π m, nos quedaría una amplitud de:

$$A_T=2·A·cos\left(\frac{4·(x_2-x_1)}{2}\right)=1.2·\cos \left(2·\left(\frac{\pi }{2}\right)\right)=-1.2 m$$

Observa que se trata de un máximo ya que, efectivamente:

$$\begin{gathered} k=\frac{2·\pi }{\lambda }\Rightarrow \lambda =\frac{2·\pi }{4}=\frac{\pi }{2} m \\ {x}_2-x_1=\frac{\pi }{2}=\lambda m \end{gathered}$$

Y sabíamos que los máximos de la onda se producen en aquellos puntos cuya deferencia de distancias de separación a los focos es múltiplo entero de la longitud de onda.