Signo de una función

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+3}$$

Comenzamos buscando los ceros de la función:

$$f\left(x\right)=0\Rightarrow -\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+3=0\Rightarrow x=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-4·\left(-\frac{1}{2}\right)·3}}{2·\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-2\\ x_2=3\end{array}\right.$$

En los ceros la función puede cambiar de signo, con lo que dichos ceros dividen la recta real en 3 intervalos, a efectos de signo constante. Para saber exactamente qué pasa en estos intervalos usamos una tabla de signos. En ella calculamos la imagen de la función de un valor arbitrario en cada intervalo y vemos qué signo tiene. El signo que tenga esa imagen será el mismo que toda la función en el intervalo señalado.

Observa que, por comodidad, también podríamos haber trabajado con la función factorizada.

$$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+3\Rightarrow f\left(x\right)=-\frac{1}{2}·\left(x+2\right)·\left(x-3\right)$$

Así, en lugar de sustituir directamente en la función, podemos hacer una fila para cada factor de la función, y una última para la función total, cuyo signo será el producto de los signos de las filas inmediatamente encima. La tabla alternativa:

Observa que el signo de la última fila es el producto de los signos de la fila anterior (cada celda se obtiene multiplicando las celdas anteriores de la misma columna), multiplicado por - debido al factor -1/2.

En definitiva:

• Signo positivo: (2,3)
• Signo negativo: (-∞,-2)∪(3,∞)

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x+2}{x-2}}$$

En este caso tenemos una función racional, los valores potenciales en los que la función puede cambiar de signo, además de los ceros de la función, f(x)=0, son los valores que anulan el denominador, que serán asíntotas verticales. Por tanto nos queda:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2 ; \\ x-2=0\Rightarrow x=2 \end{gathered}$$

Construimos la tabla para estudiar el signo:

• Signo positivo: (-∞,-2)∪(2,∞)
• Signo negativo: (-2,2)

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x^2}{x+4}}$$

Al igual que antes, estudiamos los valores que anulan el numerador (la función) y el denominador (asíntotas verticales):

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=0\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0 \\ x+4=0\Rightarrow x=-4 \end{gathered}$$

Construimos tabla:

• Signo positivo: (-4,∞)
• Signo negativo: (-∞,-4)

$$\boxed{f\left(x\right)=x-\frac{9}{x}}$$

Aunque la forma de la función difiere un poco de las anteriores, el procedimiento es el mismo: calculamos puntos potenciales de cambio de signo, esto es, ceros de la función y cancelación de denominadores.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)==\Rightarrow x-\frac{9}{x}=0\Rightarrow x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3; \\ x=0; \end{gathered}$$

Con los 3 valores encontrados, x=-3 , x=0 y x=3, construimos el cuadro de signos:

• Signo positivo: (-3,0)∪(3,∞)
• Signo negativo: (-∞,-3)∪(0,3)