Operaciones con límites

Consideraciones previas

Utilizaremos las fórmulas que puedes consultar en la pestaña adjunta, todas ellas son facilmente recordables facilmente enunciándolas en la forma "el límite de la suma (o cualquier otra operación) es la suma de los límites". Si necesitas más información, consulta la teoría asociada.

Por otro lado, del propio enunciado tenemos que:

$$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=4 ;\hspace{0.17em}\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=0 ;\hspace{0.17em}\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)=\infty$$

Resolución

1.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=4+0=4$$

2.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)-g\left(x\right)}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)-g\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=4-0=4$$

3.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)+g\left(x\right)}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)+g\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)+\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=\infty +0=\infty$$

4.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)-h\left(x\right)}$$

En este caso podríamos estar tentados, como hasta ahora, de sustituir directamente, pero llegaríamos a una indeterminación:

$$\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)-h\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)-\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)=\left[\infty -\infty \right] \text{IND.}$$

Sin embargo, una función a la que restamos la propia función es cero, con lo que:

$$\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)-h\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }0=0$$

5.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)·g\left(x\right)}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)·g\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)·\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=4·0=0$$

6.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)·g\left(x\right)}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)·g\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)·\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=\left[\infty ·0\right] \text{IND.}$$

Además, nos faltan datos para la resolución de la indeterminación.

7.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)/g\left(x\right)}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)/g\left(x\right)=\frac{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)}=\left[\frac{4}{0}\right]\text{IND}$$

Nos faltan datos para profundizar en la resolución de la indeterminación, pero sabemos que, en cualquier caso, la función diverge, por lo que podemos escribir:

$$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)/g\left(x\right)=\infty$$

8.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)/f\left(x\right)}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)/f\left(x\right)=\frac{\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)}{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)}=\frac{0}{4}=0$$

9.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }g{\left(x\right)}^{-1}}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }g{\left(x\right)}^{-1}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{g\left(x\right)}=\frac{1}{\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)}=\left[\frac{1}{0}\right] \text{IND.}$$

Ocurre lo mismo que antes, por lo que podemos escribir:

$$\underset{x\to 2}{\lim }g{\left(x\right)}^{-1}=\frac{1}{0}=\infty$$

10.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }f{\left(x\right)}^{\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)}=4^0=1$$

11.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }h{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }h{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }h{\left(x\right)}^{\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)}=\left[{\infty }^0\right] \text{IND.}$$

Como no tenemos datos adicionales, tampoco podemos resolver esa indeterminación.

12.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }{3}^{-h\left(x\right)}}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }{3}^{-h\left(x\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }{3}^{\underset{x\to 2}{\lim }-h\left(x\right)}=3^{-\infty }=\frac{1}{3^{\infty }}=0$$

13.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }h{\left(x\right)}^{-h\left(x\right)}}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }h{\left(x\right)}^{-h\left(x\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }h{\left(x\right)}^{\underset{x\to 2}{\lim }-h\left(x\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }h{\left(x\right)}^{-\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)}={\infty }^{-\infty }=\frac{1}{{\infty }^{\infty }}=0$$

14.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}}$$

En este caso se trata de una función compuesta (raíz de x y f(x)) :

$$\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)}=\sqrt{4}=2$$

15.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }{\log }_4\left(f\left(x\right)\right)}$$

De nuevo, composición de funciones, con lo que:

$$\underset{x\to 2}{\lim }{\log }_4\left(f\left(x\right)\right)={\log }_4\left(\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)\right)={\log }_4\left(4\right)\underset{{\log }_a\left(a\right)=1}{=}1$$